Conjunto de Estados $\{|\phi_n\rangle\}$ en el % del operador de densidad $\rho=\sum\limits_n p_n|\phi_n\rangle\langle\phi_n|$

Question

El conjunto de estados cuánticos $\{|\phi_n\rangle\}$ en la definición de la densidad del operador $$\rho=\sum\limits_n p_n|\phi_n\rangle\langle\phi_n|$$ need not be orthonormal, and need not form a basis. But unfortunately, in the examples that I have seen so far, the states $\{|\phi_n\rangle\}$ eran tanto ortonormales y constituye una base.

Ejemplo 1 En la de Stern-Gerlach (SG), el estado de los átomos de plata que sale del horno y antes de pasar por el campo magnético, es imperfectamente conocidas, debido a $S_z$ permaneció sin medir. Por lo tanto, en la ignorancia de tierra, un conjunto estará representada por $$\rho=\frac{1}{2}(|{\uparrow}\rangle\langle{\uparrow}|+|{\downarrow}\rangle \langle{\downarrow}|).\tag{1}$$ Note that, in this case, the states $|{\uparrow}\rangle$ and $|{\downarrow}\rangle$ are orthonormal and forms the $S_z$-base.

Ejemplo 2 Considere una luz polarizada en movimiento en la dirección z, de modo que su polarización debe ser en el $xy$-plano. Dado que no sabemos el estado en el vector, es descrito por la densidad del operador $$\rho=\frac{1}{2}(|x\rangle\langle x|+|y\rangle\langle y|)\tag{2}$$ where $|x\rangle$ and $|y\rangle$ describe plane polarized states along the $x$ and $$y-ejes respectivamente.

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Pregunta ¿Puede alguien sugerir un ejemplo de una mezcla de conjunto donde los estados $\{|\phi_n\rangle\}$ no necesita ser ortonormales y no hay necesidad de formar una base? Yo no estoy buscando el ejemplo trivial donde el desity operador describe un estado puro.

Answer 1

Este hilo ha visto una tonelada de declaraciones incorrectas procedentes de un número de lados, por lo que es probablemente una buena idea para establecer el record en un poco más de detalle, y para proporcionar algunos ejemplos más de cómo las expresiones de esta forma surgen en la práctica.

Por lo tanto, vamos a ir a través de un breve resumen de algunos puntos pertinentes.

• La definición de una matriz de densidad es sólo un operador $\rho:\mathcal H \to \mathcal H$ que es auto-adjunto y positivo semidefinite (y de la clase de seguimiento si $\dim(\mathcal H)=\infty$), y cuyo rastro satisface $$\mathrm{Tr}(\rho)=1.$$ Lo que es más importante, esto es todo lo que se requiere por parte de la definición. Cualquier operador que satisface esas condiciones pueden ser legítimamente se llama una matriz de densidad, punto.

• Debido a eso, todos los operadores que puede ser expresado en la OP del formulario, $$ \rho = \sum_n p_n |\phi_n \rangle\langle \phi_n|, \tag{$*$}$$ son válidos densidad de matrices tan largo como el componente proyectores se normalizan a $\langle \phi_n|\phi_n \rangle =1$ y el weigths agregar a a $\sum_n p_n = 1$.

• Esos dos son los requisitos que sólo las necesidades reales. Ninguna de las condiciones para la densidad de la matriz-ness ($\rho^\dagger=\rho$, $\rho\geq 0$, y $\mathrm{Tr}(\rho)=1$) se ven afectadas si el $|\phi_n\rangle$ no pares ortogonal, o si su número excede el espacio de estado de la dimensión. Eso significa que es perfectamente bien para tomar no-ortogonal a estados unidos en una representación de la forma $(*)$.

• Ejemplos explícitos con los no-ortogonal proyectores son triviales para la construcción. Norbert Shuch la respuesta contiene un ejemplo, pero si usted va en busca de ellos se pueden construir al instante por sólo tomar cualquier colección de unidad normalizada de vectores ponderados por unidad normalizada de pesos $p_n$.

  Para proporcionar un ejemplo de ello explícitamente, considere los dos niveles de espacio de $\mathcal H = \mathbb C^2$, y una secuencia de $N$ vectores de la mentira equispaced en el ecuador de su esfera de Bloch, dando $$ \rho = \sum_{n=0}^{N-1} p_n |\varphi_n\rangle\langle \varphi_n| \quad \text{para} \quad |\varphi_n\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg( |0\rangle + e^{2\pi n/N} |1\rangle\bigg). \etiqueta{$\star$} $$ Aquí los pesos pueden ser arbitrarias tan largo como $\sum_{n=0}^{N-1} p_n=1$; una elección obvia es $p_n = 1/N$ que da el máximo-estado mixto $\rho = \frac12 \mathbb I$, pero hay un montón de otras opciones posibles.

• Representaciones de la forma $(*)$ no son únicas. Supongamos, dice, que tiene algunos matriz de densidad de $\rho$ que ha logrado representar como una suma de la normalización de los proyectores de dos maneras diferentes, digamos, $$ \rho = \sum_n p_n |\phi_n \rangle\langle \phi_n| = \sum_m q_m |\chi_m \rangle\langle \chi_m|, \tag{$**$}$$ donde$\sum_n p_n = 1 = \sum_m q_m$$\langle \phi_n|\phi_n \rangle =1=\langle \chi_m|\chi_m \rangle$. A continuación, hay algunos sueltos de los requisitos en los dos conjuntos de vectores, comenzando con el hecho de que $\mathrm{span}\{|\phi_n\rangle\}$ debe coincidir $\mathrm{span}\{|\chi_m\rangle\}$, pero en general, el diseño de la $|\phi_n\rangle$ e las $|\chi_m\rangle$ dentro de ese lapso puede ser muy diferente. Esto es evidente en el ejemplo de $(\star)$ arriba con ponderaciones iguales, donde $\rho$ es independiente del número de $N$ de los vectores de la colección, y también puede ser representado como $\rho = \tfrac12 \left[ |0\rangle\langle 0| + |1\rangle\langle 1| \right]$.

• Representaciones de la forma $(*)$ son interpretaciones, y poco más. No es algún tipo de contenido en la declaración $$ \rho = \sum_n p_n |\phi_n \rangle\langle \phi_n|, \tag{$*$}$$ es decir, que puede producir el estado del sistema $\rho$ por la producción de los estados puros $|\phi_n\rangle$ con probabilidades $p_n$, y luego olvidar que puro estado en el que realmente se produjo. Sin embargo, la palabra clave no es "puede": el hecho de que el procedimiento producirá $\rho$ no quiere decir, en absoluto, que es el único procedimiento que se va a producir ese estado.

• Las representaciones no implica que los vectores involucrados son vectores propios de la resultante de la matriz de densidad. Eso es cierto si los proyectores son pares ortogonal, pero que no es un requisito en todos, por lo que es perfectamente posible construir $\rho$ como una suma de proyectores que no tienen nada que ver con la suma del eigenprojectors.

  Es probablemente útil para ilustrar esto con un ejemplo claro, para mayor claridad. Considere un sistema de dos niveles que se prepara en una superposición de la forma $$ |\theta_\pm\rangle = \cos(\theta/2)|0\rangle \pm \sin(\theta/2)|1\rangle,$$ es decir, un ángulo de $\theta$ hacia abajo desde el polo norte de la esfera de Bloch, excepto que cada vez que se lanza una moneda para ver qué signo de $\theta$ (es decir, que la dirección del meridiano de greenwich). A continuación, la matriz de densidad de lee \begin{align} \rho & = \frac12 \bigg( |\theta_+\rangle\langle\theta_+| +|\theta_-\rangle\langle\theta_-| \bigg) \\ & = \frac12 \bigg( \big(\cos(\theta/2)|0\rangle + \sin(\theta/2)|1\rangle \big) \big(\cos(\theta/2)\langle 0| + \sin(\theta/2)\langle 1| \big) \\ & \qquad + \big(\cos(\theta/2)|0\rangle - \sin(\theta/2)|1\rangle \big) \big(\cos(\theta/2)\langle 0| - \sin(\theta/2)\langle 1| \big) \bigg) %\\ & = \frac12 \bigg( %\big(\cos^2(\theta/2)|0\rangle\langle 0| + \sin(\theta/2)\cos(\theta/2)|1\rangle %\langle 0| + \sin(\theta/2)\cos(\theta/2)|0\rangle \langle 1| + %\sin^2(\theta/2)|1\rangle\langle 1| \big) %\\ & \qquad + %\big(\cos^2(\theta/2)|0\rangle\langle 0| - \sin(\theta/2)\cos(\theta/2)|1\rangle %\langle 0| - \sin(\theta/2)\cos(\theta/2)|0\rangle \langle 1| + %\sin^2(\theta/2)|1\rangle\langle 1| \big) % \bigg) \\ & = \cos^2(\theta/2)|0\rangle\langle 0| + \sin^2(\theta/2)|1\rangle\langle 1| \end{align} porque la diagonal términos se anulan. En esta segunda representación, nos hacen tener ortogonal proyectores, así que aquí $|0\rangle$ $|1\rangle$ son de hecho los únicos vectores propios de a $\rho$ (a menos que $\theta=\pi/2$ $\rho$ es máximamente mixto). Pero eso no impide que nuestra primera representación, $\rho = \frac12 \left( |\theta_+\rangle\langle\theta_+| +|\theta_-\rangle\langle\theta_-| \right)$, con su no-ortogonal, no autovector componentes, además de ser verdad.

• Si un estado se construye con la no-proyectores ortogonales, entonces también tiene una representación en términos de proyectores ortogonales, y que está perfectamente bien. Representaciones de la forma $(*)$ son una moneda de diez centavos una docena, si usted sabe donde buscar. Así, encontramos uno que no es el canónico: genial! hay millones de personas donde uno proviene.

• Representaciones de la forma $(*)$ realmente son una moneda de diez centavos por docena. Si usted desea construir uno usted mismo, por ejemplo, para un sistema de dos niveles, hay un par de puntos que son especialmente relevantes para la receta:

  • Las matrices de Pauli son una base para todos válido densidad de matrices, es decir, si $\rho=\rho^\dagger$ es traceless, entonces puede ser representado como $$ \rho = \tfrac12 \mathbb I + \vec p \cdot \vec \sigma,$$ donde $\vec p = (p_x,p_y,p_z)\in \mathbb R^3$ $\vec \sigma =(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$ son las matrices de Pauli. (Además, que la relación puede ser invertida a través de $\vec p = \mathrm{Tr}(\rho\vec\sigma)$.)
  • La positividad de la condición de $\rho\geq 0$ se traduce en la condición de $||\vec p||\leq 1$, es decir, $\vec p$ vive en el interior de la unidad de bolas o de su límite de $-$ conoce generalmente como la de Bloch de la bola y la esfera de Bloch en este contexto.
  • Si $|\vec p|=1$, es decir, $\vec p$ es en la esfera de Bloch límite, a continuación, $\rho = |\psi\rangle\langle\psi|$ es un estado puro, y si escribo $|\psi\rangle = \cos(\theta/2) |0\rangle + e^{i\varphi}\sin(\theta/2)|1\rangle$ (que siempre se puede), a continuación, $\theta\in [0,\pi]$ $\varphi\in[0,2\pi)$ son polares y azimutal coordenadas esféricas para $$ \vec p = (\sin(\theta)\cos(\varphi), \sin(\theta)\sin(\varphi), \cos(\theta).$$
  • La relación entre el $\vec p$ $\rho$ es lineal y bijective.
  • Si $\rho_1$ $\rho_2$ son válidos densidad de matrices, entonces cualquier combinación convexa $$ \rho = q_1 \rho_1 + q_2 \rho_2$$ de los dos, con la adición de pesos a $q_1+q_2=1$, también es válido matriz de densidad.
  • Debido a que la relación entre la densidad de las matrices y Bloch-bola de vectores es lineal, cualquier combinación convexa de la densidad de las matrices se traduce directamente en una combinación convexa de la correspondiente Bloch-bola de vectores. Por lo tanto, si $ \rho_1 = \tfrac12 \mathbb I + \vec p_1 \cdot \vec \sigma,$ $ \rho_2 = \tfrac12 \mathbb I + \vec p_2 \cdot \vec \sigma,$ y $ \rho = q_1 \rho_1 + q_2 \rho_2$, luego $ \vec p= q_1 \vec p_1 + q_2 \vec p_2$ se encuentra en la línea que va de la $\vec p_1$$\vec p_2$, una fracción $q_1=1-q_2$ del camino en esa dirección.

  Así que, ¿qué significa esto para la densidad de la matriz de representaciones? Si usted tiene un objetivo de la densidad de la matriz $\rho$ que desea representar, simplemente tome su Bloch-bola de vectores $\vec p = \mathrm {Tr}(\rho\vec\sigma)$, y, a continuación, recoger $N$ $\vec p_n$ en la esfera de Bloch (el límite) y los pesos, $q_n$ (normalizada a $\sum_n q_n=1$) que el promedio de $\sum_n q_n \vec p_n=\vec p$ le da su punto elegido. Que luego, naturalmente, dar una representación de la densidad de la matriz como una suma ponderada de $N$ puro-estado de los proyectores, y que pueden leer el cómputo de la base de componentes directamente desde el esférico coordenadas de su elegido extremal puntos.

Answer 2

Sólo considere un sistema de dos niveles y tomar lo tres Estados $|0\rangle$, $|1\rangle$ y $|+\rangle = (|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2}$. Entonces, el estado mixto $$ \rho = \tfrac13 | 0\rangle\langle0 | + \tfrac13 | 1\rangle\langle1 | + \tfrac13 | + \rangle\langle+| $$ es un ejemplo de lo que estás buscando. (Por supuesto, tiene también una descomposición del valor propio donde los vectores son ortogonales).

En caso de que no quiere para formar una (demasiado completa) base, sólo considerar el mismo ejemplo en un espacio tridimensional.

Answer 3

Ampliamente utilizado ejemplo de la representación de este tipo son los llamados quasiprobability distribuciones.

Considerar el oscilador Armónico. Usted puede utilizar el ortonormales coordinar $|x\rangle$, el ímpetu $|p\rangle$ o Fock $|n\rangle$ bases. Sin embargo también hay una bonita estados, \begin{equation} |\alpha\rangle=e^{\alpha a^\dagger - \alpha^\ast a}|0\rangle \end{equation} conocido como coherente de los estados. Esos son Gaussiano wavepackets que se localiza tanto en coordenadas y el impulso espacio con $\alpha=\langle x\rangle+i\langle p\rangle$. Es importante destacar que la coherente de los estados con diferentes $\alpha$ no son ortogonales.

Usted puede escribir cualquier matriz de densidad de $\rho$ para el oscilador Armónico como una integral sobre el espacio de fase, \begin{equation} \rho=\int d^2\alpha\, P(\alpha,\alpha^\ast)|\alpha\rangle\langle\alpha| \end{equation} Obviamente de la $\operatorname{Tr}\rho=1$ sigue que, \begin{equation} \int d^2\alpha\, P(\alpha,\alpha^\ast)=1 \end{equation} y que a menudo se puede tratar como una distribución de probabilidad en el espacio de fase.

Sin embargo aquí viene "cuasi" en el "quasiprobability". La función de $P(\alpha,\alpha^\ast)$ es permitido ser negativa en algunas regiones! El $\rho$ todavía puede ser definido de forma positiva.

Así que usted puede, por supuesto, considerar la posibilidad de tales representaciones, pero recuerde que algunas de las $p_n$ puede ser negativo.

Answer 4

En realidad, el conjunto de estados puros $|\phi_{n}\rangle$ que aparecen en el estado de mezcla densidad de la matriz, no puede sino ser ortogonales y completa. Esto proviene del hecho de que la densidad de la matriz es un Hermitian operador, \begin{equation}\begin{aligned} \rho^{\dagger} &= \sum_{n} p_{n} (\langle\phi_{n}|)^{\dagger} (|\phi_{n}\rangle)^{\dagger} \\ &= \sum_{n} p_{n} |\phi_{n}\rangle\langle\phi_{n}| = \rho \end{aligned}\end{equation} por lo que sus valores propios son reales y sus estados propios son ortogonales y forman un conjunto completo que puede ser utilizado como base.

De hecho, sus autoestados son precisamente los estados puros $|\phi_{n}\rangle$ con las probabilidades $p_{n}$ de los asociados a autovalores, \begin{equation}\begin{aligned} \rho |\phi_{n}\rangle&= \sum_{m}p_{m}|\phi_{m}\rangle\langle\overbrace{\phi_{m}|\phi_{n}\rangle}^{\delta_{mn}} \\ &=p_{n}|\phi_{n}\rangle \end{aligned}\end{equation} así que el conjunto de estados puros $\{|\phi_{n}\rangle\}$ tiene todas las buenas propiedades para ser usado como una base. Otra manera de entender esto, es recordar la descomposición espectral de la matriz general $A$, \begin{equation} A=\sum_{n}a_{n}P_{n} \end{equation} donde $P_{n}=|n\rangle\langle n|$ es el operador de proyector proyecta en el eigenstate $|n\rangle$ asociada con el autovalor $a_{n}$ de la matriz $A$. La matriz de densidad es precisamente esta expansión con $|\phi_{n}\rangle$ sus autoestados y $p_{n}$ los correspondientes autovalores.

La única sutileza aquí es que la matriz de densidad de una $N\times N$ matriz con $N$ la dimensionalidad de la Hilber espacio, por lo que la densidad de la matriz se construirá necesidades recordar esta dimensionalidad independientemente de si el estado es puro o mixto. Para un estado puro, por ejemplo, tendría una densidad de la matriz con $N^2-1$ ceros en la base de la $\{|\phi_{n}\rangle\}$ así que si usted decide trabajar en la base de los estados puros $\{|\phi_{n}\rangle\}$, usted tiene que acordarse de tomar en consideración a todas ellas.