Estoy siguiendo con David Tong QFT curso y estoy tratando de obtener el resultado que se muestra en la pregunta 6, en su 2ª problema de la hoja, pero estoy ejecutando en problemas a la hora de aplicarlo a la libre real escalares del campo. Esto no es un perspicaces problema, pero me he atascado y mantener la informática que es 0. Lo que estoy tratando de calcular se muestra en esta pregunta
Esto es que podemos empezar con el total del momento angular como se define por: $$Q_i = \epsilon_{ijk}\int d^3 x (x^j T^{0k}-x^k T^{0j}) = 2\epsilon_{ijk}\int d^3 x x^j T^{0k}$$ con $T^{\mu \nu}$ de la tensión tensor de energía y llegar al resultado: $$Q_i = -i\epsilon_{ijk}\int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} a^\dagger_\vec{p}\left( p_j \frac{\partial}{\partial p^k} - p_k\frac{\partial}{\partial p^j}\right) a_\vec{p}$$
No es difícil empezar a usar $T^{0i} = \Pi \partial^i \phi$ de nuestros Lagrange $\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2$, y, a continuación, utilizar nuestra expansión del campo en términos de nuestra creación y de aniquilación de los operadores $$\phi = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_\vec{p}}}\left(a_\vec{p} e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}} + a^\dagger_\vec{p} e^{-i\vec{p}\cdot\vec{x}}\right)$$ and $$\Pi = -i\int \frac{d^3q}{(2\pi)^3} \sqrt{\frac{E_\vec{q}}{2}}\left(a_\vec{q} e^{i\vec{q}\cdot\vec{x}} - a^\dagger_\vec{q} e^{-i\vec{q}\cdot\vec{x}}\right)$$ Escribir la derivada: $$\partial^i\phi = -i\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{p^i}{\sqrt{2E_\vec{p}}}\left(a_\vec{p} e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}} - a^\dagger_\vec{p} e^{-i\vec{p}\cdot\vec{x}}\right)$$
Esto le da a me $$Q_i = \epsilon_{ijk}\int \frac{d^3p d^3q}{(2\pi)^6}\sqrt{\frac{E_\vec{q}}{E_\vec{p}}} p^k\int d^3x x^j(a_\vec{q}e^{i\vec{q}\cdot\vec{x}}-a^\dagger_\vec{q}e^{-i\vec{q}\cdot\vec{x}})(a_\vec{p}e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}}-a^\dagger_\vec{p}e^{-i\vec{p}\cdot\vec{x}})$$
Podemos expandir el producto de la aniquilación y creación de los operadores, y tenga en cuenta que $x^j$ es realmente la derivada de la exponencial de condiciones con respecto a $p^j$ que se puede sacar de la integral.
Después de hacer esto, la integración por partes para eliminar la derivada de la función delta de detrás de la izquierda, nos quedamos con $$Q_i = -i \epsilon_{ijk}\int\frac{d^3p d^3q}{(2\pi)^6}\left[\delta^{(3)}(\vec{p}+\vec{q})\frac{\partial}{\partial p^j} \left( \sqrt{\frac{E_\vec{q}}{E_\vec{p}}} p_k(a^\dagger_\vec{q} a^\dagger_\vec{p} - a_\vec{q} a_\vec{p})\right) + \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q})\frac{\partial}{\partial p^j} \left( \sqrt{\frac{E_\vec{q}}{E_\vec{p}}} p_k(a^\dagger_\vec{q} a_\vec{p} - a_\vec{q} a^\dagger_\vec{p})\right)\right]$$
La integración de más de $\vec{q}$ mata la eficiencia energética en ambos casos debido a la relación de dispersión, y la $p^k$ plazo puede ser tomado fuera de la integral, ya que de lo contrario tenemos un término como $\epsilon_{ijk}\frac{\partial p^k}{\partial p^j} = \epsilon_{ijk}\delta_j^k = 0$
Finalmente, esto nos da $$Q_i = -i\epsilon_{ijk}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}p^k\frac{\partial}{\partial p^j}(a^\dagger_{-\vec{p}} a^\dagger_\vec{p} - a_{-\vec{p}}a_\vec{p} + a^\dagger_\vec{p}a_\vec{p} - a_\vec{p}a^\dagger_\vec{p})$$
Para seguir adelante, nos damos cuenta de que desde $\phi$ es un verdadero campo escalar, podemos compara a sí mismo a su complejo conjugado y podemos cambiar $\vec{p} \rightarrow -\vec{p}$ encontrar ese $a_{-\vec{p}} = a^\dagger_\vec{p}$. Pero conectando en la forma anterior de $Q_i$ da 0. Alguna idea de lo que está pasando aquí?
