Serie de Maclaurin de $(\sin(x^3))^{1/3}$

Question

Cómo encontrar la serie de Maclaurin para la función:

$$\sqrt[3]{\sin(x^3)}$$

La respuesta debe ser:

$$ x - \frac {x^7}{18} - \frac {{x}^{13}}{3240} + o(x^{13})$$

Lo intenté:

$$\sin x = x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} - \frac {x^7}{7!} + ...$$

Así que, cambié $x$ $x^3$ para obtener:

$$\sin(x^3) = x^3 - \frac {x^9}{3!} + \frac {x^{15}}{5!} - \frac {x^{21}}{7!} + ...$$

Pero estoy atrapado cuando se trata de poder de 1/3:

$$\sqrt[3]{x^3 - \frac {x^9}{3!} + \frac {x^{15}}{5!} - \frac {x^{21}}{7!} + ...} = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...$$

Answer 1

Si usted factor $x^3$ desde la raíz cúbica obtendrá $$ x\sqrt[3]{1-\left (\frac{x^6}{3!}-\frac{x^{12}}{5!} +o(x^{12})\right )} $$ Ahora, usar el poder de expansión de la serie para la raíz cúbica $$ \sqrt[3]{1-x} = 1-\frac x3-\frac {x^2}9+o(x^2) \\ \sqrt[3]{1-\left (\frac{x^6}{3!}-\frac{x^{12}}{5!} +o(x^{12})\right )} = 1-\frac 13\left(\frac{x^6}{3!}-\frac{x^{12}}{5!} \right)-\frac 19\left(\frac {x^{12}}{3!3!}+o(x^{12}) \right ) = \\ \\= 1-\frac {x^6}{3\cdot 3!}+\left ( \frac 1{3\cdot5!}-\frac 1{9\cdot 3! \cdot 3!}\right)x^{12}+o(x^{12}) = 1-\frac {x^6}{18}-\frac {x^{12}}{3240}+o(x^{12}) $$ Después de la multiplicación de a $x$ tendrás tu respuesta.