Calcule el $\int_0^{2\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx$

Question

Estoy teniendo problemas con este problema:

Considera la integral: $$\tag 1\int_0^{2\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx$$

a. Escriba $\cos(mx)$ y $\cos(nx)$ en términos de exponenciales complejos y calcular $\cos(mx)\cos(nx)$

b. Demuestre que, para un número entero $L$ : $$\int \exp(iLx)dx = \begin{cases} 2\pi, & \text{ if } L=0 \\ 0, & \text{otherwise}, \end{cases}$$ (donde i es un número complejo)

c. Calcula la integral en $(1)$ utilizando lo anterior.

Answer 1

Usando exponenciales complejos, o más elementalmente las leyes de adición del coseno $\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$ y su gemelo $\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$ encontramos que $$\cos(mx)\cos(nx)=\frac{1}{2}\left(\cos((m+n)x)+\cos((m-n)x)\right).$$ Integrar. Cuidado con el caso $m=n$ .

Answer 2

Recordemos que

$$\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

A continuación, amplíe

$$\cos (mx)\cos (nx) = \left(\frac{e^{imx}+e^{-imx}}{2}\right) \left(\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}\right)$$

por lo que se convierte en una suma de exponenciales complejas.

Para la segunda parte, basta con encontrar la antiderivada de $\exp(i L x), \, \forall L \neq 0$ y luego encontrar que la integral definida sobre $[0, 2\pi]$ . Luego haga lo mismo para cuando $L = 0$ .

Combina los dos resultados anteriores para concluir cuál es la integral de los cosenos.

Answer 3

Una pista:

$$\cos kx=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}\Longrightarrow \cos mx\cos nx=\frac{1}{4}\left(e^{i(m+n)x}+e^{-i(m+n)x}+e^{i(m-n)x}+e^{-i(m-n)x}\right)$$