Ayúdame a corregir mis ideas de continuidad

Question

He estado estudiando el análisis real durante los últimos meses, y tengo problemas para organizar las diferentes nociones de continuidad y las ideas relacionadas con la continuidad en mi cabeza de forma geométrica. Voy a explicar mis nociones en términos generales (es decir, sin definiciones delta-epsilon). ¿Puede decirme cómo afinar mi pensamiento intuitivo allí donde mis ideas sean incorrectas o demasiado generales?

Continua - La preimagen de todo conjunto abierto es un conjunto abierto.

Continua de Lipshitz - Los valores absolutos de las pendientes de todas las rectas secantes de la función están acotados.

Uniformemente continua - La mejor noción que tengo es que es justo lo que es una función continua sobre un conjunto cerrado y acotado. Una idea que tengo es que significa que la función es el límite uniforme de alguna serie de funciones lineales a trozos, pero ¿se mantiene esto para funciones uniformemente continuas sobre dominios que no son compactos?

Absolutamente Continuo - Esta es mi noción más caótica geométricamente. La definición de delta-epsilon me da una noción suelta de poder romper la condición de continuidad uniforme sobre uniones desconectadas de intervalos abiertos. Sé que las funciones absolutamente continuas tienen que ser de variación acotada, lo que conlleva una noción geométrica de una función continua cuya imagen sobre cualquier partición del dominio tiene una longitud de arco finita, pero no puedo ver qué hace que esta noción sea más fuerte visualmente, ni puedo entender cómo se conecta tan bien con el Teorema Fundamental del Cálculo.

Otra pregunta: ¿cómo se relacionan estos diferentes tipos entre sí, y qué ejemplos pueden mostrar estas relaciones? Sé que la función de Cantor es un buen ejemplo de una función uniformemente continua (de variación acotada) que no es absolutamente continua, pero ¿es Lipschitz? Si no, ¿hay alguna función que sea Lipschitz pero no absolutamente continua?

Agradezco su opinión, y me disculpo si esta pregunta es demasiado general y carente de rigor, ¡todavía estoy aprendiendo a manejarme en este sitio!

Answer 1

Respuesta parcial:

• Continuidad uniforme: Puede ser arbitrariamente mala. La continuidad de Hölder implica continuidad uniforme, y las funciones con índice de Hölder inferior a $1/10$ no parecerán intentos continuos al calcular y dibujar su gráfico, algunos de ellos no parecen funciones en absoluto. No es sorprendente que se trate de construcciones fractales.

• Lipschitz implica continuidad absoluta: Dado que $|f(x)-f(y)|<L\,|x-y|$ se obtiene que la variación sobre una colección de intervalos está limitada por $L$ veces la suma de las longitudes de los intervalos.

• absolutamente continua e integral de Riemann: Busca la Habilitationsschrift de Riemann, no se puede describir la conexión de integrabilidad y variación de una manera más corta e intuitiva.

Con todo, tu comprensión de la continuidad parece ya sólida, cada uno tiene diferentes visualizaciones.

Uno que utilicé para explicar la continuidad de las funciones reales: La continuidad son cajas en la gráfica con la parte superior e inferior sólidas que pueden hacerse arbitrariamente pequeñas en altura. La continuidad uniforme significa que puedes mover libremente estas cajas a lo largo de la gráfica, sin cambiar su forma. La continuidad Lipschitz permite sustituir las cajas por formas de mariposa, una cruz encajonada con pendiente $L$ para que el centro esté en la gráfica y la gráfica se quede en los triángulos de los lados, saliendo por el lado vertical.

Answer 2

Continua - La preimagen de todo conjunto abierto es un conjunto abierto.

Es perfecto. La intuición: si eliges un lugar alrededor de $f(x)$ , puede encontrar un lugar alrededor de $x$ cuya imagen está incluida en la primera.

Continua de Lipshitz - Los valores absolutos de las pendientes de todas las rectas secantes de la función están acotados.

Perfecto.

Uniformemente continua - La mejor noción que tengo es que es justo lo que es una función continua sobre un conjunto cerrado y acotado. Una idea que tengo es que significa que la función es el límite uniforme de alguna serie de funciones lineales a trozos, pero ¿se mantiene esto para funciones uniformemente continuas sobre dominios que no son compactos?

Permítanme recordarles primero que esto está reservado a las topologías métricas (o de tipo métrico, como el Espacios de Fréchet ). En el marco métrico, una función uniformemente continua es tal que para todo $r>0$ existe $\delta>0$ como $$ d(x,y) < \delta \Rightarrow d(f(x),f(y)) < r $$ En este caso, observaré $\delta \le \omega(r)$ , $\omega(r)$ siendo el $\inf$ del conjunto de valores de $\delta$ que hace que la desigualdad anterior funcione.

La continuidad uniforme también se puede formular $r\neq 0 \Rightarrow \omega(r)>0$ .

A lo que usted hace referencia es al teorema de Heine, bajo el supuesto de que el espacio es compacto.

¡Tenga cuidado! en cuanto la dimensión es $\infty$ no es equivalente a acotado (¡nótese que se trata de una noción métrica!) y cerrado: esas dos condiciones no son suficientes (véase, por ejemplo Teorema de Riesz ).

Absolutamente Continuo - Esta es mi noción más caótica geométricamente. La definición delta-epsilon me da una noción suelta de poder romper la condición de continuidad uniforme sobre uniones desconectadas de intervalos abiertos. Sé que las funciones absolutamente continuas tienen que ser de variación acotada, lo que conlleva una noción geométrica de una función continua cuya imagen sobre cualquier partición del dominio tiene una longitud de arco finita, pero no puedo ver qué hace que esta noción sea más fuerte visualmente, ni puedo entender cómo se conecta tan bien con el Teorema Fundamental del Cálculo.

Aquí también estamos en el marco de los espacios métricos. La definición es:

para todos $n\in \Bbb N$ $r>0$ hay un $\delta>0$ como $$ \sum_{k=1}^n d(x_k, y_k ) < \delta \Rightarrow \sum_{k=1}^n d(f(x_k), f(y_k) ) < r $$ por lo que tomar $n=1$ da que si $f$ es absolutamente continua, es uniformemente continua.

Ahora, en el caso de $\Bbb R$ , si $f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) dt$ con $f\in L^1[a,b]$ entonces $$ \sum_{k=1}^n |f(x_k)- f(y_k)| \le \sum_{k=1}^n \int_a^t |f'(t)| dt \le \sum \int_{[x_k,y_k]} |f'(t)| dt \to 0 $$ como $\sum_{k=1}^n |x_k- y_k|\to 0 $ debido al teorema de convergencia monotómica. Conclusión: esta condición implica la continuidad absoluta.

Supongamos ahora que $f$ es absolutamente continua. Dejemos que $$ V_f(x) = \sup_{\{a = x_0 < \ldots <x_n = x\}} \sum_{i=1}^n|f(x_i) - f(x_{i-1})|\\ f^+(x) = \frac12(V_f(x) + f(x))\\ f^-(x) = \frac12(V_f(x) - f(x)) $$ $f^\pm$ son ambos crecientes, y son absolutamente continuos y $f = f^+-f^-$ Por lo tanto, sólo tenemos que hacer la prueba en el caso creciente.

En este caso, $f$ es diferenciable en casi todas partes, y $$ \int_a^x f'(t) dt = f(x) - f(a) + \sum_{a\le y\le x} \Delta f(y) = f(x) - f(a) $$ porque como $f$ es absolutamente continua, no tiene saltos.