Espacios duales y producto interior

Question

¿Cuál es la relación (si la hay) entre los espacios duales y el producto interior? Según tengo entendido, el espacio dual de un espacio vectorial es el conjunto de todos los mapeos lineales desde el conjunto de vectores al campo sobre el que se define el espacio. Pero la definición del producto interior es un mapeo bilineal de dos vectores a un escalar. Me parece que si hubiéramos definido la misma cosa dos veces, de dos maneras diferentes, ¿es así?

Si la respuesta es afirmativa, y dado que todo espacio tiene un espacio dual, ¿significa eso que todo espacio vectorial es automáticamente un espacio de producto interno? Además, si la identidad de polarización puede utilizarse para definir una norma de un producto interior, ¿son todos los espacios vectoriales espacios con norma interna?

Estoy seguro de que estoy entendiendo mal alguna definición, pero estoy totalmente perdido aquí. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

No todo espacio vectorial es un espacio de producto interno porque no toda norma satisface la identidad de polarización. Como contraejemplos clásicos, consideremos los espacios $\mathbb{R}^n$ bajo el $1$ -(también conocida como norma del taxi) y la $\infty$ -norma (también conocida como norma máxima/suprema).

Si se da un espacio de producto interno (también conocido como espacio de Hilbert), entonces existe una fuerte conexión entre el espacio dual y el producto interno. Este resultado se conoce como el Teorema de la representación de Riesz . Nótese, sin embargo, que lo suyo no significa que hayamos "definido lo mismo dos veces". El espacio dual es el conjunto de todos los mapeos lineales al campo escalar, mientras que el producto interior de un espacio de producto interior es un mapa particular (bilineal) sobre dos vectores al campo escalar.

Answer 2

Si tienes un producto interno, entonces tienes un isomorfismo de $V$ a su doble $V^*$ dado por $v\mapsto \langle v,-\rangle$ . Pero, hay espacios vectoriales que no son espacios de producto interno. Para ello, véase aquí .