Determinante del producto de Kronecker de dos matrices

Question

Me gustaría saber cómo se puede demostrar que $\det(A \otimes B) = \det(A)^m \det(B)^n$ cuando $A$ y $B$ son matrices cuadradas de tamaño $n$ y $m$ respectivamente y $\otimes$ representa el producto Kronecker de $A$ y $B$ .

He visto algunas pruebas utilizando los valores propios de $A$ y $B$ pero como no todas las matrices tienen valores propios (al menos no en todos los anillos), me gustaría una prueba más intrínseca, quizás utilizando el hecho de que $M_{(nm)^2} \cong M_{n^2} \otimes M_{m^2}$ .

Todo se reduce a demostrar que $\det(A \otimes I) = \det(A)^m$ y utilizando alguna propiedad inteligente (por ejemplo $(A\otimes B)(C\otimes D) = (AC) \otimes (BD)$ ), pero no fui capaz de hacer ni siquiera eso.

Answer 1

Este es otro enfoque. Considere $A \otimes {\bf 1}_m$ mostraremos que esta matriz siempre puede ser llevada a la forma de bloque

$$\left( \begin{array}{cccc} A & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & A \\ \end{array}\right) $$ Para ello, consideremos la matriz $A$ con componentes $(a_{ij})$ en alguna base, digamos $\{u_i\}$ de un espacio vectorial $V$ con dimensión $n$ sobre un anillo $R$ . Considere también la identidad ${\bf 1}_m$ sobre el espacio vectorial $W$ de dimensión $m$ en $R$ también. Utilizaremos la base $\{ u_i \otimes e_a \}$ para el espacio $V \otimes W$ , siendo $i,j=1,\cdots,n$ y $a,b=1, \cdots, m$ . Elijamos además un ordenamiento para la base, este ordenamiento será

$$ \{u_1 \otimes e_1, u_1\otimes e_2, \cdots ,u_1 \otimes e_m, u_2 \otimes e_1, \cdots ,u_n \otimes e_m \} $$ Veamos la forma del operador $A \otimes {\bf 1}_m$ en esta base, veremos que es la forma de bloque dada anteriormente. Consideremos la acción:

$$ (A \otimes {\bf 1}_m)u_{i}\otimes e_a = Au_i \otimes {\bf 1}_m e_a = \sum_{j,b} a_{ij}\delta_{ab} u_j \otimes e_b $$ Esto significa que el elemento de la matriz en esta base es $(A \otimes {\bf 1}_m)_{ia,jb} = a_{ij}\delta_{ab}$ . Esta es la forma de bloque que pretendemos obtener, pues nótese que este elemento de la matriz sólo es distinto de cero cuando $a=b$ que es a lo largo de la diagonal de un $m \times m$ matriz de bloques, y en cada bloque se tiene la matriz $(a_{ij})$ que es el operador $A$ en la base $\{u_i\}$ . El determinante es independiente de la base elegida.

Tomemos ahora el determinante de esta matriz de bloques, es fácil demostrar que este determinante es $\det(A)^m$ . Por último, como usted mismo ha señalado escribe

$$ A \otimes B = (A \otimes {\bf 1})({\bf 1}\otimes B) $$ y utilizar $\det(MN) = \det M \cdot \det N$ . Esto funciona con cualquier anillo.

Answer 2

SUGERENCIA:

Basta con mostrar que la identidad se mantiene para matrices con entradas de $\mathbb{C}$ . Además, basta con demostrarlo para matrices complejas diagonalizables, un subconjunto denso. Así que demuestre que si $A$ es diagonalizable con valores propios $\lambda_i$ y $B$ diagonalizable con valores propios $\mu_j$ entonces $A\otimes B$ es diagonalizable con valores propios $\lambda_i \cdot \mu_j$ . Mientras que aquí, también se puede demostrar que los valores propios de $A\otimes I_m + I_n \otimes B$ son $\lambda_i + \mu_j$ .

Answer 3

La prueba más intrínseca es probablemente mostrar $\det(V\otimes W) \cong \det(V)^{\otimes\text{rk}(W)} \otimes \det(W)^{\otimes\text{rk}(V)}$ utilizando las propiedades universales implicadas, y que bajo este isomorfismo (natural), $\det(f\otimes g)$ se convierte en $\det(f)^{\otimes\text{rk}(W)} \otimes \det(g)^{\otimes\text{rk}(V)}$ . Aquí, $f\!: V \to V$ y $g\!: W \to W$ son endomorfismos (representados por $A$ resp. $B$ ). Esto también funciona sobre anillos.

Answer 4

Utilice la matriz de conmutación; recuerde que Km,n(AB)=(BA)Km,n. Se deduce que det(AB)=det(BA). Entonces det(AB)=det((AI)(IB))=det(IA)det(IB)=det(A)^m det(B)^n (ya que IA es una matriz diagonal de bloques con todos los bloques de la diagonal iguales a A, y el determinante de una matriz diagonal de bloques es igual al producto de los determinantes de los bloques).