Como parte de este problema, después de la substitución que necesito calcular los nuevos límites.
Sin embargo, no entiendo por qué esto es así:
$$\lim_{x \to \infty}\space{\arctan(x)} = \frac{\pi}{2}$$
Traté de dibujar el círculo unitario para ver lo que sucede con el $\arctan$ cuando $x \to \infty$ pero no sé cómo dibujar $\arctan$. Es el inverso del $\tan$ pero ¿incluso dibujar $\tan$?
Agradeceria cualquier ayuda.
Finalmente lo resolví con ayuda de este cuadro.
Tenga en cuenta que nuestra nomenclatura de $\tan x$ no es realmente arbitraria. $AD$ es la tangente al círculo de la unidad en la A. Ahora es claramente visible que cuando $\tan{(x)} = AD \to \infty$ y $\arctan{(AD)} = x = \frac{\pi}{2}$.
Si querías hacerlo geométricamente, la prueba es la más fácil. Si querías hacerlo analíticamente, puede utilizar el hecho de que $\mathrm{\tan} : (-\pi/2,\pi/2) \to \mathbb R$ es un bijection continuo aumento (incluso un Homeomorfismo), por lo tanto $$ \mathrm{arctan}(x) \lim{x \to \infty} = \lim{y \to \pi/2} \mathrm{arctan}(\mathrm{tan}(y)) = \lim_{y \to \pi/2} y = \pi/2. $$ Es decir que hacer el cambio de variables.
Espero que ayude,
Aquí está una manera ligeramente diferente de ver que $\lim\limits_{\theta\rightarrow {\infty}}\arctan\theta={\pi\over2}$.
Pensando en el círculo unidad, $\tan \theta ={y\over x}$ donde $(x,y)$ son las coordenadas del punto en el círculo unitario con ángulo de referencia $\theta$, lo que sucede como $\theta\rightarrow\pi/2$? En particular, lo que sucede a$\tan\theta$$\theta\nearrow{\pi\over2}$?
Así, el $x$ coordinar dirige hacia el 0 y el $y$ coordinar las cabezas hacia 1.
Así, en el cociente $$ y\sobre x, $$ el numerador cabezas a 1 y el denominador se hace arbitrariamente pequeño, de modo que el cociente de los jefes hasta el infinito.
Por lo tanto, $\lim\limits_{\theta\rightarrow {\pi\over2}}\tan\theta=\infty$ y, en consecuencia, $\lim\limits_{\theta\rightarrow {\infty}}\arctan\theta={\pi\over2}$.
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