He aquí una prueba de coordenadas utilizando el modelo de disco de Poincaré (identificado con el círculo unitario).
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Tomar $A = (p,0)$, $B=(q,0)$, $C=(0,r)$ (para los no-cero $p$, $q$, $r$), de modo que el origen es el pie de la altura desde $C$. La inversión de $B$ en el círculo unidad, naturalmente, da $B^\prime = (q^{-1},0)$, lo que nos permite encontrar la ecuación de la circunferencia (que representa a la hiperbólica línea) a través de$B$$C$:
$$\bigcirc{B^\prime BC}:\quad x^2+y^2 - 2x \dot{q} - 2y \dot{r} + 1 = 0$$
donde$\dot{q} := \frac12(q+q^{-1})$$\dot{r} = \frac12(r+r^{-1})$.
La inversión de $A$ en el círculo unitario para obtener $A^\prime$, y la inversión de $A$ $\bigcirc{B^\prime BC}$ conseguir $A^{\prime\prime}$ da la ecuación para el círculo que representa la altitud de $A$:
$$\bigcirc A^\prime AA^{\prime\prime}:\quad
x^2+y^2 - 2 x \dot{p} \dot{r} + 2 s \frac{ \dot{p} \dot{q} - 1 }{\dot{r}} + 1$$
Los pies de altitud, $D$, es la intersección de los dos círculos. Pie $E$ de la altura de $B$ es otro ejemplo de intersección. En lugar de resolver el desordenado cuadráticas, recordemos que estamos interesados en comparar las $\angle DOB$$\angle EOA$. Entonces, porque hiperbólico líneas a través de las $O$ están representados por Euclidiana líneas, por lo que el $D = (d, d m)$ para algunas pendiente $m$, podemos sustituir las coordenadas en las dos ecuaciones anteriores; la eliminación de $d$, obtenemos
$$m = - \frac{(p - q) (1 - p q) \dot{r}}{
2 p q \left( \dot{p} \dot{q} + \ddot{r}^2 \right)} \etiqueta{$\star$}$$
donde $\ddot{r} := \frac12(r-r^{-1})$.
La fórmula ($\star$) es anti-simétrica en $p$ $q$ (equivalentemente, este análisis es anti-simétrica en $A$$B$): conmutación de los parámetros sólo cambia el signo del valor. En consecuencia, el ángulo formado por (Euclidiana o hiperbólica) líneas de $\overline{OD}$ $\overline{OE}$ es atravesada por $\overline{OC}$ (aquí, el $y$-eje). $\square$
Notas. Recordemos que en el modelo de Poincaré, la distancia Euclídea $d$ desde el origen representa la distancia hiperbólica $d^\star = \log\frac{1+d}{1-d}$, por lo que
$$d = \frac{\exp d^\star - 1}{\exp d^\star + 1} =\tanh\frac{d^\star}{2} \qquad \dot{d} = \coth d^\star \qquad \ddot{d} = -\operatorname{csch} d^\star$$
Por lo tanto, podemos finalmente escribir ($\star$) como
$$m = \frac{\sinh(p^\star - q^\star)\;\sinh 2r^\star}{2(\;\sinh p^\star \sinh q^\star + \cosh p^\star \cosh q^\star \sinh^2 r^\star\;)} \tag{$\estrellas\estrella de$}$$
donde $p^\star := |OA|$, $q^\star := |OB|$, $r^\star := |OC|$ son hiperbólicos longitudes de los elementos en hiperbólico $\triangle ABC$. (Asignamos a los signos opuestos a $p^\star$ $q^\star$ si están en lados opuestos de $O$, y la coincidencia de los signos si están en el mismo lado de la $O$.) Expresan $(\star\star)$ en los términos de los lados y los ángulos de $\triangle ABC$ se deja como ejercicio para el lector. (Como punto de partida: $p^\star - q^\star = |AB|$. También, como una comprobación de validez: la fórmula se debe reducir a $\tan C$ en el "infinitesimal", ya que $\angle AOE = \angle BOD = \angle C$ en un triángulo Euclidiano.)
