Tratando de entender los espacios de Hilbert...

Question

Estoy tratando de entender los espacios de Hilbert, pero tengo dificultades para combinar varias definiciones.

Lo he buscado en wikipedia y en wolfram, allí dice algo así como "Un espacio de Hilbert $H$ es un espacio de producto interno real o complejo que también es un espacio métrico completo con respecto a la función de distancia inducida por el producto interno".

En Croom's Principios de topología dice "Espacio de Hilbert $H$ consiste en todas las secuencias infinitas $x=(x_1,x_2,\dots,x_n,\dots )$ para el que cada coordenada $x_i$ es un número real y para el que la suma de todos los $x_{i}^{2}$ converge a un límite finito $\dots$

(Estoy un poco confundido) En pocas palabras... ¿Qué es un espacio de Hilbert?

Estoy tratando de conseguir un El punto de vista de los topólogos sobre el asunto. He leído que $H$ tiene algunas propiedades útiles que vienen en la mano al demostrar algunos teoremas, así..

Answer 1

¿Entiendes el concepto de espacio lineal (vectorial)?

Si es así, piense en equipar el espacio con un producto interior $\langle \cdot,\cdot\rangle$ que puedes considerar como un dispositivo para medir ángulos en este espacio.

Ahora, ese producto interno induce un norma (dado por $\|x\|=\langle x,x\rangle^{1/2}$ ) y esto nos da un dispositivo para medir la longitud en este espacio.

Por último, supongamos que el espacio tiene la propiedad de ser completa en la norma anterior, es decir, toda secuencia de Cauchy en el espacio (de nuevo donde la distancia se mide en términos de $\|\cdot\|$ ) tiene un límite que es en el espacio .

Si todo lo anterior se cumple, entonces decimos que el espacio es un Espacio de Hilbert .

En resumen, un espacio de Hilbert es un espacio lineal normado con un producto interior que es completo en la norma inducida por el producto interior.

Answer 2

Considere un espacio vectorial en $\mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$ ). Esto puede convertirse en un espacio del producto interior especificando un producto interno $\langle*,*\rangle,$ que toma dos vectores y devuelve un elemento de $\mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$ ). Por último, un Espacio de Hilbert es un tipo de espacio de producto interno especialmente agradable. Técnicamente, un espacio de Hilbert es un espacio de producto interno que es completo con respecto a la norma $ \|x\| = \langle x,x\rangle^{1/2}$ . Esto sólo significa que tiene que ser completa con respecto a la métrica $d(x,y) = \langle x-y,x-y\rangle^{1/2}$ . Obsérvese que hemos definido la métrica de forma que $d(x,y)=\|x-y\|.$

No conozco los detalles sobre las propiedades útiles del espacio de Hilbert, pero en términos generales, todo el mundo está de acuerdo en que el espacio de Hilbert es el mejor. Todo el mundo ama el espacio de Hilbert.