¿Es una convención o una propiedad matemática fundamental que el producto de dos números negativos sea positivo?

Question

Considere los siguientes extractos de Pregunte al Dr. Math :

Extracto 1

Así que la verdadera pregunta es, $$(-1)(-1) = ?$$ y la respuesta es que se ha adoptado la siguiente convención: $$(-1)(-1) = (+1)$$ Esta convención se ha adoptado por la sencilla razón de que cualquier otra convención haría que se rompiera algo.

Extracto 2

Dejemos que $a$ y $b$ sean dos números reales cualesquiera. Consideremos el número $x$ definido por $$x = ab + (-a)(b) + (-a)(-b)$$ Podemos escribir $$x = ab + (-a)[ (b) + (-b) ]$$ $$ = ab + (-a)(0)$$ $$ = ab + 0$$ $$ = ab$$ También, $$x = [ a + (-a) ]b + (-a)(-b)$$ $$ = 0 * b + (-a)(-b)$$ $$ = 0 + (-a)(-b)$$ $$ = (-a)(-b)$$ Así que tenemos $$x = ab$$ y $$x = (-a)(-b)$$ Por lo tanto, por la transitividad de la igualdad, tenemos $$ab = (-a)(-b)$$

Los dos extractos parecen contradecirse: el primero sugiere que la propiedad es sólo una convención, mientras que el segundo sugiere que es una propiedad matemática intrínseca de los números negativos.

La convención se define como algo que se ha adoptado por conveniencia ( $0! = 1$ ) mientras que una "propiedad matemática intrínseca" es algo que no puede definirse de otro modo ( $e^{\pi i} = -1$ ).

Answer 1

" $1$ " es un símbolo utilizado para definir el número $e$ tal que $ex=x$ para todos $x$ . " $-1$ " es un símbolo que utilizamos para representar el valor $x$ para lo cual $x+1 = 0$ . Tenemos que suponer que tal $x$ existe, y hay sistemas donde no existe, por ejemplo los números naturales. Sabemos que sólo puede haber un número así porque si hubiera algún $x'$ tal que $x'+1=0$ tendríamos $$x+1=x'+1\\$ x+1+x=x'+1+x\\x'+0=x+0\\x'=x$$ lo que significa que si hay dos números de este tipo entonces son iguales.

Pero, ¿qué es lo que $(-1)(-1)$ ¿ser? Bueno, tenemos $(-1) = (-1)(1)$ por la definición de $1$ Así que pensamos en lo que queremos $(-1)(-1)+(-1)(1)$ para ser. Si asumimos la ley distributiva, tenemos: $$(-1)(-1)+(-1)(1) = \\ (-1)(-1+1)=\\ (-1)(0)=\\ 0$$

Así que $(-1)(-1)+-1 = 0$ pero ya hemos demostrado que el único número para el que esto es cierto (o al menos lo hemos demostrado análogamente) es $1$ . Si no fuera así, al menos una de las leyes que utilizamos sería falsa y eso no tendría mucho sentido.

Answer 2

La razón es: es muy deseable que lo que llamamos "números reales" sea un Campo .

Matemáticamente, definimos que los números reales son así (véase el Construcción por Dedekind Cuts , por ejemplo)

Intuitivamente, "sabemos" que lo que llamamos suma es asociativa, conmutativa, tiene un elemento neutro y un elemento inverso, y la multiplicación es asociativa, conmutativa, tiene un elemento neutro y tiene un elemento inverso (para cada elemento distinto de cero). A partir de ahí, demostramos que:

$(-a).b=-(a.b)$

Prueba: $(-a).b+(a.b)=(-a+a).b=0.b=0$

Por lo tanto, se demuestra que $(-a).b=-(a.b)$

Pero entonces: $(-a).(-b)=-(a.(-b))=-(-(a.b))=a.b$

Answer 3

Ley de signos prueba: $\rm\,\ (-x)(-y) = (-x)(-y) + x(-y + y) = (-x+x)(-y) + xy = xy$

De forma equivalente, evalúe $\rm\:\overline{(-x)(-y) +} \overline{ \underline {x(-y)}} \underline{ +xy_{\phantom{.}}}\ $ de dos maneras, señalando cada término de más/menos $ = 0$ .

Dicho de forma más conceptual, $\rm\:(-x)(-y)\ $ y $\rm\:xy\:$ son ambas inversas de $\rm\ x(-y)\ $ por lo que son iguales por la unicidad de las inversiones .

Obsérvese que la prueba sólo utiliza leyes del anillo (sobre todo el ley distributiva ), por lo que la ley de los signos es válida en todos los anillos. De hecho, todo teorema de anillo no trivial (es decir, que no degenere en un teorema sobre el grupo aditivo o el monoide multiplicativo subyacente), debe emplear la ley distributiva, ya que es la única ley que conecta las estructuras aditiva y multiplicativa que se combinan para formar la estructura del anillo. Sin la ley distributiva, un anillo sería simplemente un conjunto con dos estructuras aditivas y multiplicativas completamente inconexas. Así que, en cierto sentido, la ley distributiva es la piedra angular de la estructura del anillo.

Answer 4

La mayoría de las respuestas hasta ahora dan el punto de vista algebraico. Pero hay un punto de vista geométrico dual que es más intuitivo.

Piensa en un número $k \in \mathbb R$ como un operador que actúa sobre la recta de los números reales $\mathbb R$ como $k: \mathbb R \to \mathbb R$ como $k: x \mapsto kx$ .

Entonces la acción de -1 sobre $\mathbb R$ es $(-1) \mathbb R= -\mathbb R$ es decir, la línea real se refleja alrededor del origen: $0 \mapsto 0$ , $1 \mapsto -1$ , $2 \mapsto -2$ , $- \pi \mapsto \pi$ etc.

A partir de esto es fácil ver que $-1$ como operador es una involución: el producto $(-1)(-1)$ actuando en $\mathbb R$ refleja la línea real dos veces, devolviéndola al original $\mathbb R$ .

Así que si es una convención es consistente con esta simetría, que es un concepto tan fundamental como cualquier cosa en matemáticas o física.

Answer 5

Así que los números negativos surgen porque necesitamos inversos aditivos, es decir, necesitamos un número $x$ tal que $x+1=0$ . Lo llamaremos $x$ $-1$ . Lo mismo ocurre con todos los demás números negativos.

Entonces se puede demostrar que tomando la inversa aditiva dos veces se obtiene el número del nombre. Es decir, si $-n+x=0$ añadiendo $n$ a ambas partes que $n-n+x=n$ Así que $0+x=n$ Así que $x=n$ .

Obsérvese también que podemos demostrar que tomar la inversa aditiva es lo mismo que multiplicar por $-1$ si queremos que la suma y la multiplicación se comporten bien. Por lo tanto, $n+(-1)n=n(1+(-1))=n\cdot 0$ por la distributividad. Esto demuestra que $-n=(-1)$ .

Como al tomar la inversa aditiva dos veces se obtiene el mismo número, esto significa que $-(-1)=(-1)(-1)=1$ y en general $(-n)(-m)=(-1)n(-1)m=(-1)(-1)nm=1nm=nm$ .

Espero que esto tenga sentido y ayude al menos a explicar por qué esto es cierto. Es cierto porque para que la suma y la multiplicación funcionen como queremos (con asociatividad, conmutatividad y distributividad), esto debe ser cierto.