demostrando que $f_n(x)= x^n$ no es una Secuencia de Cauchy

Question

Teniendo en cuenta el espacio $C^0([0,1])$ de funciones continuas sobre $[0,1]$ con la norma $||f|| = \max_{x \in [0,1]} |f(x)|$ Tengo que determinar si $f_n(x) = x^n, n \in \mathbb N$ es una sucesión de Cauchy o no. Mi intuición me dice que no lo es. Mi pregunta ahora es: ¿Cómo puedo demostrar que $$\left(\frac N m \right)^{\frac{N}{m-N}}-\left(\frac N m \right)^{\frac{m}{m-N}} \to 1$$ si $m \to \infty$ ?

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Algunos antecedentes

(Por si encuentras una forma más fácil).

Asumo que es un CS, así que para $\varepsilon = 1/2$ Supongo que hay un $N$ tal que $$||f_n - f_m|| < \epsilon \forall n,m \geq N$$ y ahora quieren encontrar una contradicción. Fijar $N=n$ Intenté demostrar que podemos hacer $||f_N-f_m|| = \max ( x^N - x^m)$ se acerca arbitrariamente a 1 si elegimos $m$ lo suficientemente grande. Para ello determiné el máximo de $x^N-x^m$ está en $x = \left(\frac n m \right)^{\frac{1}{m-n}}$ mediante el ajuste de la derivada a cero. Introduciendo esto de nuevo en la expresión de la norma, llegué a la pregunta.

Answer 1

Una respuesta computacional (de baja tecnología):

$$\begin{split} \left(\frac Nm\right)^{\frac{N}{m-N}} &= \left(\frac N{(m-N)+N}\right)^{\frac{N}{m-N}}\\ &=\left(\frac 1{\frac{m-N}{N} +1}\right)^{\frac{N}{m-N}} \\ &\to 1 \end{split} $$

como $m\to \infty$ . Mientras que el otro término tiende a $0$ . Así que

$$\left(\frac N m \right)^{\frac{N}{m-N}}-\left(\frac N m \right)^{\frac{m}{m-N}} \to 1$$

como $m\to \infty$ .

Answer 2

Basta con demostrar que existe $\epsilon_0 >0$ tal que para cada $n$ hay algo de $m > n$ con $\lVert f_m - f_n \rVert > \epsilon_0$ .

Elija $\epsilon_0 = 1/4$ y $m = 2n$ .

Tenga en cuenta que para $x_n = (1/2)^{1/n}$ tenemos $\lVert f_m-f_n \rVert \geqslant |x_n^{2n}-x_n^{n}| = 1/4$ .

Answer 3

Una sucesión de Cauchy uniforme es convergente puntualmente, y converge uniformemente a ese límite puntual.

El límite puntual del $\{f_n\}$ es $0$ en $(0,1)$ y $1$ en $1$ . Dado que un límite uniforme de funciones continuas es continuo, esto es una contradicción. Su secuencia no es uniformemente Cauchy.