Límite con el teorema de Stolz-Cesàro:$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1+2\sqrt2+3\sqrt3+\ldots+n\sqrt n}{n^2 \sqrt{n}}$

Question

$$\lim_{n\to \infty} \frac{1+2\sqrt2+3\sqrt3+\ldots+n\sqrt n}{n^2 \sqrt{n}}= \text{?}$$

Libro no tiene respuestas. Es en la lección de Teorema de Stolz-Cesàro, si eso ayuda. No puede encontrar una solución.

Answer 1

Por qué de algo, se trata de una suma de Riemann:

$$\lim{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum{k=1}^n \left ( \frac{k}{n}\right )^{3/2} = \int_0^1 dx \, x^{3/2} = \frac{2}{5}$$

Answer 2

Esta es la aplicación directa de la Stolz-Cesàro teorema $$\begin{align} &\lim{n\to \infty} \frac{1+2\sqrt{2}+...+n\sqrt{n}}{n^2 \sqrt{n}}\ =&\lim{n\to \infty} \frac{(1+2\sqrt{2}+...+(n+1)\sqrt{n+1})-(1+2\sqrt{2}+...+n\sqrt{n})}{(n+1)^2 \sqrt{n+1}-n^2\sqrt{n}}\ =&\lim{n\to \infty} \frac{(n+1)\sqrt{n+1}}{(n+1)^2 \sqrt{n+1}-n^2\sqrt{n}}\ =&\lim{n\to \infty} \frac{(n+1)\sqrt{n+1}((n+1)^2 \sqrt{n+1}+n^2\sqrt{n})}{((n+1)^2 \sqrt{n+1}-n^2\sqrt{n})((n+1)^2 \sqrt{n+1}+n^2\sqrt{n})}\ =&\lim{n\to \infty} \frac{(n+1)\sqrt{n+1}((n+1)^2 \sqrt{n+1}+n^2\sqrt{n})}{(n+1)^5-n^5}\ =&\lim{n\to \infty} \frac{(n+1)^4+(n+1)n^2\sqrt{n(n+1)}}{5n^4+10n^3+10n^2+5n+1}\ =&\lim_{n\to \infty} \frac{(1+n^{-1})^4+(1+n^{-1})\sqrt{1+n^{-1}}}{5+10n^{-1}+10n^{-2}+5n^{-3}+n^{-4}}\ =&\frac{2}{5} \end {Alinee el} $$