¿Conseguiremos todos los números reales si sumamos todos los límites?

Question

Considerar un conjunto de todos números racionales entre 0 1 inclusive.

¿Si añadimos a este conjunto de todos los límites de todas las secuencias convergentes de estas cifras, que obtenemos un conjunto de todos los números reales de 0 a 1?

Answer 1

Sí. Los números racionales son densos en $[0,1]$. Es decir que cada número real en $[0,1]$ es el límite de una secuencia racional.

Answer 2

Sí. Se trata de una construcción de los números reales: es la terminación de $\mathbb Q$ con respecto a la métrica $d(p,q) = |p-q|$.

Answer 3

Tenga en cuenta que $a\in [0,1]$ es un número irracional con representación decimal $$ a=0.a_1a_2a_3\cdots, $$ es decir $a_i$ es el decimal de th de $i$ del número de $a$, entonces podemos fácilmente contruct una secuencia de números racionales que convergen a $a$ sacando $$ q_n=0.a_1\cdots a_n , \quad n\geq 1, $$ es decir $q_n$ es el número racional que empareja el primer $n$ decimales de $a$ (el resto de los decimales que es cero). Vemos que el $(qn){n\geq 1}$ es una secuencia racional convergen a $a$.

Answer 4

Sí. De hecho, una forma de construir los números reales es la unión de todos los números racionales con todos sus límites. Las secuencias de especial importancia son aquellos que son de Cauchy. Una secuencia $\{s_{i}\}$ es de Cauchy si para cada a $\epsilon>0$ existe un $N$, de modo que para todos los $m,n>N$, $|s_{n}-s_{m}|<\epsilon$. Si estamos en un espacio métrico, que tiene la propiedad de que cada secuencia de Cauchy converge en el sentido usual de la palabra, entonces decimos que el espacio métrico es completa. Los racionales son claramente no es completa. Tomar la secuencia de $\{s_{n}\}=(1,1.4,1.41,1.414...)$. Entonces, claramente, esta secuencia es de Cauchy pero no converge. Sin embargo, si nos la unión de los racionales con estos límites, tenemos que cada secuencia de Cauchy converge, por lo que los reales están completas. Un resultado clave de análisis real es que los reales son, en realidad, una. Aquí, es importante tener en cuenta que hay otros conceptos de integridad, que son lógicamente equivalentes a la que ya he descrito.

Answer 5

Cada número real tiene un decimal de expansión, que es una serie infinita expansión, que es un límite de números racionales obtenidos mediante el truncamiento de la expansión decimal. Que es la forma en que la mayoría de los estudiantes de matemáticas de cumplir el límite del concepto en primer lugar, incluso si la palabra "límite" no se utiliza. La asignación de significado a estas infinito de decimales para revelar las propiedades subyacentes que muestran que ha llevado a una definición formal de los reales, y también a un topológica de la definición de límite y de compacidad que es una herramienta que se utiliza en prácticamente todos los no-matemáticas discretas, tales como el real y el análisis complejo, la teoría de los números, probabilidad, álgebra, ...