Cómo mostrar que$\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\left(\frac{\sin\phi}{\sin\theta}\right)^{1/2}\,d\theta\,d\phi=\pi$?

Question

$$\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\left(\frac{\sin\phi}{\sin\theta}\right)^{1/2}\,d\theta\,d\phi=\pi$ $ De hecho, traté de resolver esta integral complejizando (usando la fórmula de Euler) el$\sin\theta$ y$\sin\phi$. Pero no funcionó porque me enfrenté al exponente que dificultaría las cosas para abordar tal integral.

Agradecería cualquier sugerencia para resolver esta integral.

Answer 1

Uno puede usar un clásico de la representación integral de la función beta de Euler $$ \int_0^{\pi/2}\sin^a(x)\:dx=\frac{\Gamma\left(\frac12\right) \Gamma\left(\frac12+\frac{a}2\right)}{2\,\Gamma\left(1+\frac{a}2\right)} $$ dando $$ \int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin(\phi)}\:d\phi=\frac{\Gamma\left(\frac12\right) \Gamma\left(\frac34\right)}{2\,\Gamma\left(\frac54\right)},\quad\int_0^{\pi/2}\frac1{\sqrt{\sin(\theta)}}\:d\theta=\frac{\Gamma\left(\frac12\right) \Gamma\left(\frac14\right)}{2\,\Gamma\left(\frac34\right)} $$ y $$ \int_0^{\pi/2}\sqrt{\frac{\sin(\phi)}{\sin(\theta)}}\:d\phi\:d\theta=\Gamma\left(\frac12\right)\cdot\Gamma\left(\frac12\right)=\pi $$ como se anunció.