Desigualdades de Horn saturadas

Question

Si tengo un producto matricial de la forma

$C = AB$

donde

$A = UDU^*$

Con A y B cuadrados, hermitianos y semidefinidos positivos, D diagonal, U unitario y * representando la transposición conjugada, entonces las desigualdades de Horn dan:

$c_{i+j-1} \leq d_i b_j \ $

Dónde $b_i$ , $c_i$ y $d_i$ son los valores propios de B, C y D respectivamente, $b_1 > b_2 > ... > b_n$ y de forma similar para c y d.

¿Es posible, en general, saturar estas desigualdades (es decir, sustituir el $\leq$ con un = para el valor mínimo del lado derecho) por la elección correcta de U?

Answer 1

No. Si todas las desigualdades son empates, se obtiene un sistema sobredeterminado para $c_1,\ldots,c_n$ ( $n(n+1)/2$ ecuaciones y $n$ incógnitas), que no es solucionable en general. De hecho, los dos conjuntos de igualdades \begin {align*} d_1 b_j &= c_j; \quad j=1,2,...,n, \\ d_2 b_j &= c_{j+1}; \quad j=1,2, \ldots ,n-1. \end {align*} implican que $\dfrac{d_2b_j}{d_1b_{j+1}} = 1$ . Así que $B$ y $D$ tienen que satisfacer condiciones necesarias como ésta para que todas las desigualdades puedan llegar a saturarse.