¿Cuál es el verdadero de la Teorema de squeeze?

Question

Aquí es el Teorema del encaje en $\mathbb{R}$:

Vamos $(a_n)$, $(b_n)$ y $(c_n)$ ser secuencias de tomar sus valores en $\mathbb{R}$. Deje $x \in \mathbb{R}$. Asumir que:

• $\forall n \in \mathbb{N}, \ \ a_n \leq b_n \leq c_n$;
• $\lim \limits_{n \to + \infty} a_n = \lim\limits_{n \to + \infty} c_n = x$.

A continuación,$\lim \limits_{n \to + \infty} b_n = x$.

Este teorema es verdadero es uno reemplaza las ocurrencias de $\mathbb{R}$ por encima de $\overline{\mathbb{R}}$, $\mathbb{R}^n$, $\mathcal{C}_b (\Omega)$ (donde $\Omega$ es un conjunto abierto), $\mathbb{L}^p (\Omega, \mu)$ (donde $(\Omega, \mu)$ es una medida de espacio y $p \in [0, + \infty]$), e incluso en $\mathcal{P} (\mathbb{R})$ (véase esta cuestión). Sin embargo, las pruebas a las que me conocen de estos hechos tienen algunos puntos en común, pero también algunos de los ingredientes individuales.

Hay un general de la condición suficiente que garantice que un espacio topológico con un orden parcial satisface el Teorema del sándwich, y se aplican a todos los ejemplos anteriores? Hay algunos que no son demasiado artificial ejemplos de espacios para que el Teorema del encaje no?

Answer 1

Esto puede no muy responder a su pregunta, pero era demasiado largo para un comentario, y que vale la pena destacar, en mi humilde opinión :

Muchos de la función/secuencia de espacios donde esta la prueba de obras son todos los retículos de Banach. es decir. Están ordenados normativa espacios lineales, y la norma respeta el orden de la estructura.

Para tales espacios, funcional $f:E \to \mathbb{C}$ se llama positiva, si $x \geq 0$ implica que el $f(x) \geq 0$. En particular, si $a_n \leq b_n \leq c_n$ todos los $n$, luego $$ f(a_n) \leq f(b_n) \leq f(c_n) \quad\forall f \text{ lineal positiva funcional } $$ Por lo tanto, por la contracción principio en $\mathbb{R}$, se deduce que $$ f(b_n) \a f(x) \quad\forall f \text{ lineal positiva funcional } $$ Ahora, hay un teorema que dice que el lineal positiva funcionales generado la (continua) el espacio dual. En otras palabras, $$ E^{\ast} = \{f-g : f,g \text{ lineal positiva funcionales }\} $$ Por lo tanto (por el entramado de Banach versión de Hahn-Banach teorema), se deduce que el $b_n \to x$ $E$

Answer 2

Al menos, para la métrica de los espacios con un orden parcial encontré algunas generalizaciones del teorema del sándwich. Son útiles para deducir los casos $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^n$, $\mathcal C_b(\Omega)$ y $\mathcal L_p(\Omega)$.

En primer lugar, se me ocurrió la siguiente proposición:

La proposición. Vamos a ser $(X,d)$ un espacio métrico, $a\in X$, $(x_n)$, $(y_n)$ las secuencias en $X$ $A_n\subseteq X$ $n\in\mathbb{N}$ con las siguientes propiedades:

• $x_n,y_n\in A_n\quad\forall n\in\mathbb{N}$
• $\operatorname{diam} A_n=\sup_{x,y\in A_n} d(x,y)\rightarrow 0$
• $x_n\rightarrow a$

Luego también tenemos a $y_n\rightarrow a$.

Uno puede fácilmente verificar esta haciendo primaria estimaciones. Ahora llegamos a la conclusión de la general, el teorema del sándwich para espacios métricos $(X,d)$ dotado de un orden parcial $(\preceq, X)$ con respecto a la métrica de $d$, eso significa que tenemos $d(x,y)\leq d(x,z)$ todos los $x\preceq y\preceq z$.

En General el teorema del sándwich. Le ser $(X,d)$ un espacio métrico, $(\preceq,X)$ un orden parcial , $a\in X$ y $(x_n)$, $(y_n)$, $(z_n)$ las secuencias en $X$ con $$x_n\preceq y_n\preceq z_n$$ para cada una de las $n\in\mathbb{N}$$x_n,z_n\rightarrow a$. Luego de ello se sigue que $y_n\rightarrow a$.

Prueba. Definir $A_n=\{y\in X\ \vert\ x_n\preceq y\preceq z_n\}$. Luego tenemos a $x_n,y_n\in A_n$ por cada $n\in\mathbb{N}$ y $$\operatorname{diam}A_n=d(x_n,z_n)\rightarrow 0.$$ Así, el teorema se sigue de la proposición. $\square$