Mostrar que esta secuencia converge. (criterio de cauchy)

Question

Determinado $a_0 \geq 0$ y una secuencia ($an){n\in\mathbb{N}}$

$$ a{n+1}= \frac1{(2+a{n})}.$$

${n\in\mathbb{N_0}}$.

Mostrar que $(an){n\in\mathbb{N}}$ es convergente y determina el límite.

¿Lo único que he conseguido hasta ahora es que esta secuencia no es monótona, pero que no ayuda mucho, no?

Answer 1

Si podemos mostrar que la sucesión es convergente, entonces su límite es $L=\sqrt2-1$, ya que debe satisfacer $$ L=\frac1{2+L}. $$

Está claro que $a_n>0$ todos los $n$. Y tenemos $$ |a_{n+1}-a_n|=\left|\frac1{2+a_n}-\frac1{2+a_{n-1}}\right\|=\frac{|a_{n-1}-a_n|}{(2+a_n)(2+a_{n-1})}\leq\frac{|a_{n}-a_{n-1}|}4. $$ Inductivamente, $$ |a_{n+1}-a_n|\leq\frac1{4^n}\,|a_1-a_0|. $$ Entonces $$ |a_{n+k}-a_n|\leq\sum_{j=1}^{k-1}|a_{n+j+1}-a_{n+j}|\leq|a_1-a_0|\,\sum_{j=0}^{k-1}4^{-j-n}=4^{-n}\,\frac{4(1-4^{-k})|a_1-a_0|}{3}. $$ Esto demuestra que la sucesión es de Cauchy, y por lo tanto convergente.

Answer 2

Es probable que un argumento que utiliza el hecho de que $a_0,a_2,\dots$ $a_1,a_3,\dots$ son monotonía es la intención. Damos un cálculo más al estilo de argumento.

Si el límite existe, deja de ser $b$. A continuación,$b=\frac{1}{2+b}$, y por lo tanto $b=\sqrt{2}-1$.

Todas las $a_n$$\ge 0$.

Deje $f(x)=\frac{1}{2+x}$. A continuación,$f'(x)=-\frac{1}{(2+x)^2}$. Tenga en cuenta que $f(b)=b$. Por lo tanto $a_{n+1}-b=f(a_n)-f(b)$

Por el Teorema del Valor medio $$f(a_n)-f(b)=(a_n-b)f'(c)$$ para algunos $c$$a_n$$b$. La derivada tiene valor absoluto $\lt \frac{1}{4}$. De ello se sigue que $$|a_{n+1}-b|\le \frac{1}{4}|a_n-b|,$$ y por lo tanto la secuencia converge a $b$.

Nota: Si desea utilizar el Criterio de Cauchy, el mismo MVT argumento mostrará que $$|a_{n+2}-a_{n+1}|\le \frac{1}{4}|a_{n+1}-a_n|.$$