¿Puede el "argumento físico" de la existencia de una solución al problema de Dirichlet convertirse en una prueba real?

Question

Advertencia: Realmente no sé nada sobre las EDP, así que esta pregunta puede no tener sentido.

En la clase de análisis complejo hemos estado aprendiendo sobre la solución del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en dominios acotados con una buena frontera (suave). Lo que entiendo de la historia de este problema (extraído de Wikipedia) es que en el siglo XIX todo el mundo "sabía" que el problema tenía que tener una solución única, debido a la física. En concreto, si le doy una distribución de carga a lo largo de la frontera, tiene que determinar un potencial eléctrico en el dominio, que resulta ser armónico. Pero la prueba de Dirichlet era errónea, y no fue hasta alrededor de 1900 que Hilbert encontró un argumento correcto para la existencia y unicidad de la solución, dadas unas condiciones razonables (la función de frontera debe ser continua, y la frontera tiene que ser realmente lo suficientemente suave).

¿La heurística física carece realmente de sentido desde el punto de vista matemático? ¿O hay alguna forma de traducirla en una prueba real?

Answer 1

La intuición electrostática conduce a una formulación matemática correcta del problema de Dirichlet.

Consideremos una distribución de carga eléctrica de dos capas delgadas (una capa es positiva y la otra negativa) situadas a lo largo de una superficie cerrada $S\subset\mathbb R^3$ . Supongamos que $d>0$ es la distancia entre las cargas a lo largo de la normal $n_p$ a la superficie en el punto $p$ . Sea $\rho\in C(S,\mathbb R)$ denotan la densidad de la distribución.

Un par de dos cargas opuestas $+Q=\rho/d$ y $-Q=-\rho/d$ crea un campo eléctrico. El límite del campo cuando $d\to 0$ se conoce como el dipolo . Para cualquier $x\in \mathbb R^3$ el potencial dipolar en el punto $p\in S$ tiene la forma $$\frac{\rho}{d}\Phi(x-(p+n_pd/2))-\frac{\rho}{d}\Phi(x-(p-n_pd/2))=\rho\frac{\partial \Phi(x-p)}{\partial n_p} +o(1)\quad{\rm as\ \ } d\to0,\qquad(1)$$ donde $\Phi(x)=-(4\pi|x|)^{-1},\quad x\in \mathbb R^3,$ es la solución fundamental de la ecuación de Laplace. (1) da el potencial dipolar de un solo dipolo en el punto $p\in S$ y la integral $$u(x)=\int_{S}\rho(p) \frac{\partial \Phi(x-p)}{\partial n_p} dp,\quad x\in\mathbb R^3,$$ es el potencial de toda la distribución.

Ahora, un simple cálculo muestra que $u(x)$ es una función armónica cuando $x$ no está en la superficie. Tiene un salto cuando $x$ pasa a través de $S$ : $$u_{-}(x_0)=u(x_0)-2\pi \rho(x_0),\quad u_{+}(x_0)=u(x_0)+2\pi \rho(x_0),\quad x_0\in S,\qquad\qquad\qquad\qquad (2)$$ donde $u_{-}(x_0)$ ( $u_{+}(x_0)$ ) es el límite desde el interior (exterior) de la superficie.

Las relaciones (2) son ecuaciones integrales con respecto a la densidad desconocida (suponiendo que se conoce el potencial en la superficie). Las ecuaciones pueden resolverse mediante la fórmula Enfoque de Fredholm . La función $u(x)$ entonces da una solución al problema de Dirichlet.

Editar. Ver un pequeño y agradable libro de texto de Arnold donde muestra cómo hacer rigurosa la intuición física en este problema.

Answer 2

Bueno, no entiendo la electrostática, pero aquí hay otra heurística física:

Imponer una distribución de la temperatura en el exterior, y medir (después de un tiempo) la temperatura en el interior. Esto da una función armónica que extiende la temperatura exterior. [¿Cuál es el análogo electrostático? Anteriormente había escrito "densidad de carga", pero ahora no estoy seguro de que sea correcto].

Creo que esto sugiere fuertemente un argumento matemáticamente riguroso: Nos lleva naturalmente a modelar la dependencia temporal de la temperatura en el interior. Esto satisface una ecuación de difusión (o de calor), pero con palabras:

"Después de un tiempo \delta la nueva temperatura se obtiene promediando la antigua temperatura a lo largo de un círculo de radio \sqrt { \delta }."

Este proceso converge en condiciones razonables, a medida que el tiempo se hace infinito, a la solución del problema de Dirichlet. En cualquier caso, nos lleva a la prueba de la existencia del movimiento browniano, que personalmente encuentro bastante satisfactoria. Otro comentario personal: Creo que siempre hay que tomar en serio la "heurística física".

[En respuesta a los comentarios de Q.Y. más abajo, que eran respuestas a anteriores observaciones confusas que hice: ni el campo eléctrico ni el potencial de Columb es un múltiplo de la densidad de carga en la frontera: el primero es un vector, y en cualquier imagina que la carga en la frontera se concentra en una subregión; ni el campo eléctrico ni el potencial serán constantes fuera de esa subregión].

Answer 3

El concepto físico de que "la prescripción del potencial en la frontera debería determinar el potencial en el interior" ni siquiera sugiere una prueba. (Por cierto, creo que querías decir "potencial en la frontera" en lugar de "distribución de carga a lo largo de la frontera"). Como mucho sugiere un teorema. Sin embargo, el principio físico de que la naturaleza trata de minimizar una cantidad (en este caso, la energía) hace sugerir una idea para una prueba. Esto es precisamente lo que Dirichlet (y otros) intentaron hacer en el siglo XIX, así como lo que finalmente llevó a cabo Hilbert.

Para añadir a lo que escribió Aguirre, el problema básico es que el hecho de que tengas un inf no significa que tengas un min: el problema es la falta de compacidad. La solución técnica es debilitar tu topología (a la vez que la completas) para conseguir un espacio mayor de funciones en el que puedas extraer con éxito un mín. El coste es que ya no sabes si el mínimo es una solución honesta en el sentido habitual, así que tienes que trabajar un poco para demostrar que lo es. (En otras palabras, has hecho el existencia pregunta más fácil a costa de introducir una regularidad pregunta).

Una referencia para este método de resolución del problema de Dirichlet (a veces llamado "método directo" en el cálculo de variaciones) es el libro de PDE de Rauch, que cubre este material con una cantidad mínima de complicaciones.

Answer 4

No soy un experto en EDP, pero sé que a menudo la existencia y la unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales se obtienen mediante el teorema del punto fijo de Banach o resultados similares. Esencialmente, la idea es que si las soluciones de una ecuación diferencial son "más estables" que las condiciones de contorno, deberías ser capaz de construir una solución única mediante un proceso de límite.

Si se examina este problema, se parece mucho a uno de los problemas que se pueden resolver de esta manera. Lo que refuerza mi opinión es que en realidad se pide encontrar algo en un espacio cero para un operador de Laplace y este es un operador muy bueno, es elíptico creo, así que, por ejemplo, el exp (-t\Delta) La expresión se comporta bien y tiene como límite la proyección al espacio cero.

Espero que esto sirva de orientación y de palabras clave para la búsqueda :)

Answer 5

La intuición física nos dice que el potencial determinado por una distribución de carga en la frontera minimizará la energía. Si D es un dominio acotado en R^d (d=3 en aplicaciones reales), entonces la energía de un potencial u en D viene dada por la integral de Dirichlet:

DI(u) = \int_D |grad(u)|^2 dx

Así, si minimizamos DI(u) entre todas las funciones u cuya restricción a la frontera de D es igual a una determinada función f, habremos resuelto el problema de Dirichlet: encontrar u: D -> R tal que

Laplaciano(u) = 0 en D, u restringido a la frontera de D = f.

La integral de Dirichlet está acotada por debajo (por cero), por lo que tiene un mínimo cuando se calcula sobre funciones cuya restricción a la frontera de D es igual a f. Lo que no es en absoluto obvio es que alcance su mínimo. La prueba de este hecho tuvo que esperar hasta el desarrollo de lo que ahora llamamos métodos del espacio de Hilbert. En particular, uno de los problemas era determinar la clase adecuada de funciones con las que trabajar: de ahí el énfasis en todas las funciones arriba.

Una vez demostrada la existencia de una solución, la unicidad se deriva del principio de máximo.