Resumen

Question

Por lo que estaba era jugar alrededor con serie infinita y me vino con uno que es engañosamente similar a la familiar $\sum{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = 1 $ simplemente añadir $1$ a cada denominador de cada término de la serie. Esto es $\sum{n=1}^\infty \frac{1}{2^n+1} \approx 0.76449...$ he usado todas mis armas para tratar de para crackearlo y lo mejor que he venido para arriba con es el equivalente de la serie $\sum{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n-1} $ podria alguien ayudarme a recuperar algún tipo de valor compacto para esta expresión (por ejemplo $\sum{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} $ puede ser reescrito como $\frac{\pi^2}{6}$) o esto es más o menos impossi ¿ble? ¡Gracias!

Answer 1

No hay ninguna forma conocida de cerrado para esta suma.

Answer 2

Podría utilizar el hecho de $$\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n(2^n+1)} = \frac{1}{2^n},$ $ y luego tratar de encontrar una forma cerrada para la suma siguiente, que parece ser igualmente difícil,

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n(2^n+1)}$ $ y luego restar la forma cerrada de la suma anterior de $1.$