Dos supermartingales y un tiempo de parada

Question

Tengo la siguiente tarea que hacer:

Permitir que$(X_n)$ y$(Y_n)$ sean dos supermartingales en el espacio de probabilidad$(\Omega, \mathcal{A}, P)$ y$T$ ser un tiempo de detención con respecto a una filtración$(\mathcal{F}_n)$ y$X_T \leq Y_T$ en$\{T< \infty\}$.

Defina$Z_n = Y_n$ en$\{n<T\}$ y$Z_n = X_n$ en$\{T \leq n\}$.

Prueba de que$(Z_n)$ es un supermartingale.

Intenté usar$Z_n = Y_nI_{\{n<T\}} + X_nI_{\{T\leq n\}}$ y enchufarlo en$\mathbb{E}[Z_n|\mathcal{F_{n-1}}]$ y usar algunas propiedades de la expectativa condicional, pero parece que no llego a$\leq Z_{n-1}$.

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que$X_T \leq Y_T$ implica que

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Así,

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Ahora usa eso$$\begin{align*} X_n 1_{\{T \leq n\}} = X_n 1_{\{T \leq n-1\}} + X_T 1_{\{T=n\}} &\leq X_n 1_{\{T \leq n-1\}}+ Y_T 1_{\{T =n\}} \\ &= X_n 1_{\{T \leq n-1\}}+ Y_n 1_{\{T =n\}}. \end{align*}$ y$$Z_n \leq Y_{n} 1_{\{T \leq n-1\}^c} + X_n 1_{\{T \leq n-1\}}.$ son supermartingales y el hecho de que$(Y_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ para concluir que

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