Criterios de convergencia para la verdadera función del zeta de Riemann

Question

Es bien sabido que la siguiente serie converge para $x > 1$ donde $x$ es real.

$$ \zeta(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x}$$

¿Por qué es esto? He buscado y no puede encontrar una respuesta, y la mayoría de las fuentes que se lea como si es tan obvio que no necesita una explicación.

Para $x=1$ sé que esto es la divergencia de la serie armónica.

Una prueba de razón de falla a la conclusión de convergencia:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^x}{n^x} = 1$$

Incluso he trazan en un gráfico de este y se observa que a medida $x$ varía entre 0 y 10, el límite sigue enfoques 1.

Yo no soy matemáticamente entrenados, así que te agradezco las explicaciones con un mínimo de lenguaje técnico.

Answer 1

Tenemos

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x}\le1+\int_1^{\infty}\frac{1}{t^x}\,dt$$

y

$$\int_1^{a}\frac{1}{t^x}\,dt=\left[\frac1{1-x}t^{1-x}\right]_1^{a}=\frac1{1-x}a^{1-x}-\frac1{1-x}$$

así para $x>1$

$$\int1^{\infty}\frac{1}{t^x}\,dt=\lim{a\to \infty}\int_1^{a}\frac{1}{t^x}\,dt=\frac1{x-1}$$

Answer 2

Pensé que podría ser instructivo para presentar un enfoque que se basa en que ni la integral de la prueba, ni la prueba de condensación de Cauchy. Más bien debemos hacer uso de la creatividad telescópica. A fin de proceder.

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Primero observamos que para $x>1$

$$\frac{1}{n^x}=\frac{n^{1-x}-(n-1)^{1-x}}{1-x}+O\left(\frac{1}{n^{1+x}}\right)\tag1$$

Podemos mostrar que $\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ por una serie de metodologías. Y, por lo tanto, para cualquier $\epsilon>0$, la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2+\epsilon}}$ converge.

Por lo tanto, sumando ambos lados de $(1)$ y la explotación de la telescópico de la serie revela

$$\sum_{n=1}^N \frac1{n^x}=1+\frac{1-N^{1-x}}{x-1}+\sum_{n=2}^N O\left(\frac{1}{n^{1+x}}\right)\tag2$$

Para $x>1$, el segundo término en el lado derecho de la $(1)$ enfoques $\frac1{x-1}$$N\to \infty$, mientras que el segundo término converge más rápido que $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$.

Por lo tanto, la serie de $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}$ converge.

Answer 3

No sé por qué crees que la condensación de Cauchy implica análisis complejo.

CC supone $an\ge0$ y $a{n+1}\le a_n$. La serie $\sum an$ converge si y solamente si converge la serie $\sum 2^na{2^n}$.

No hay números complejos a la vista.

Supongamos ahora que $x>0$ y $an=1/n^x$. Luego $$2^na{2^n}=2^{(1-x)n},$$and it's clear that $\sum 2 ^ {(1-x) n} $ converges if and only if $1-x