A lo largo de una extensión de anillo finito, la restricción de inversible ideales no puede ser cero

Question

Que $S := k[x] \subseteq R$ sea una extensión de anillo finito donde $k$ es un campo. Por otra parte, ser unidimensional, que $R$ noetheriano y reducido. Que $I$ sea un ideal inversible de $R$.

¿Tenemos $I \cap S \neq {0}$?

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Mi intento:

La respuesta es afirmativa si $I$ (correctamente) contiene un alto % ideal $P \subsetneq I$desde entonces por comparabilidad tenemos $0 \subseteq P \cap S \subsetneq I \cap S$.

¿Pero sabemos que los ideales inversible contienen siempre un primer?

Answer 1

Desde $I$ es invertible, contiene al menos un elemento regular. Que es $I \not\subseteq P$ para cualquier mínimo el primer ideal $P$$R$.

Desde $R$ es de dimensión uno, cualquier primer ideal de la cadena de $P_0 \subsetneq P_1$ establece que $P_0$ es mínima. Por lo tanto $$\dim R/I = 0.$$

Yo ahora uso el siguiente teorema:

Teorema: [A. 8 en Bruns-Herzog, Cohen-Macaulay Anillos]

Deje $S \subseteq R$ ser un integrante del anillo de la extensión de noetherian anillos y $I \subsetneq R$ será un verdadero ideal. A continuación, $$\dim R/I = \dim S/(I \cap S).$$

Ahora esto implica $\dim S/(I \cap S) = 0$, en particular, $I \cap S \neq 0$ (desde $\dim S = 1$).