¿Por qué hacen referencia matemáticos a conjuntos como "espacios topológicos" o "espacios medibles" sin referencia a cualquier topología o conjuntos medibles?

Question

En un teorema como este, se encuentra en Rudin:

Deje $u$ $v$ ser real, medible funciones en un espacio medible $X$, vamos a $\phi$ ser una asignación continua de la superficie en un espacio topológico $Y$, y definir

$h(x) = \phi (u(x), v(x))$

para todos los $x \in X$. A continuación, $h: X \to Y$ es medible.

No es redundantes o innecesarios para referirse a $Y$ como un espacio topológico? Cada conjunto puede ser un espacio topológico, porque puede generar una topología, no importa lo trivial, de cada conjunto, a la derecha? Puesto que el teorema no hace uso explícito de cualquier topología en $Y$, ¿por qué no $Y$ necesita ser etiquetado como un espacio topológico? De la misma manera, ¿por qué son espacios etiquetados como "medibles espacios" cuando cada conjunto, al menos trivial, es una medida de espacio?

Nota: Soy consciente de que tanto un espacio topológico y un espacio medible consulte más técnicamente a los pares ordenados de un conjunto y una colección de subconjuntos, conocida como la topología de medida o de conjunto, respectivamente. Sin embargo, cuando no se haga referencia explícita a estas colecciones de subconjuntos no entiendo cómo los juegos pueden ser debidamente clasificados como "topológico" o "medibles."

Answer 1

Cuando decimos "espacio topológico $Y$", que es una abreviatura de "espacio topológico $(Y,T)$" para algunos no especificado (pero fijo) topología $T$. En otras palabras, tenemos algunos topología específica que estamos utilizando en $Y$ (y se va a utilizar esta topología para hacer sentido de palabras como "conjunto abierto", "continuo", etc), pero no estamos molestando explícitamente el nombre de esta topología. Es muy importante que no sólo estamos diciendo que no existe una topología en $Y$ (como dices, que es cierto de cualquier juego), pero que en realidad estamos recogiendo algunos topología particular, ya que estamos usando ese topología específica cuando decimos $\phi$ es continua, por ejemplo.

Este tipo de abreviatura es muy común a lo largo de las matemáticas y se hace con casi cualquier tipo de estructura matemática. Por ejemplo, cuando decimos "Vamos a $G$ ser un grupo" en realidad, significa que estamos dejando $(G,\cdot)$ ser un grupo para algunos operación binaria $\cdot$ que no le explícitamente nombre. Básicamente, sería muy tedioso estar constantemente escribiendo largos de tuplas de cada estructura matemática hablamos, así que abreviar y se refieren a ellos sólo por su conjunto subyacente.

Answer 2

Le pregunte a varias preguntas diferentes en tu post, así que voy a intentar responder a sus puntos de confusión.

• $X$ tiene que ser un espacio medible y $Y$ tiene que ser un espacio topológico en el orden de la instrucción "$\phi : X \to Y$ es medible" hacer sentido.

• Respecto a tu último párrafo: si ayuda, usted puede reemplazar a $X$ con el par ordenado $(X, \mathcal{F})$, y reemplace $Y$ con el par $(Y, \mathcal{T})$, en el estado de resultado. Hay algunos $\sigma$-álgebra y algunos topología de tumbarse en la declaración del teorema, pero no importa lo que son (es decir, que no necesita ni siquiera ser nombrado); la única cosa importante es que existen. Esto está implícito cuando se dice "$X$ es un espacio medible", etc., y que puede ser considerado como una especie de taquigrafía.

• Si usted declaró el teorema sin tener en cuenta que el $X$ es un espacio medible y $Y$ es un espacio topológico, entonces uno se podría preguntar "¿cuáles son los bloques abiertos en $Y$?" o "¿cuáles son los conjuntos medibles en $X$?" con el fin de hacer sentido de lo que la cuantificación de un mapa de $\phi : X \to Y$ medios. Este sería necesario, entonces, para responder por el suministro de una particular $\sigma$-álgebra para $X$ y la topología de $Y$, o señalando que en la declaración se sostiene para cualquier estructura en $X$$Y$. Esto es equivalente a decir simplemente que $X$ es un conjunto con un $\sigma$-álgebra (es decir, "$X$ es un espacio medible"), y que $Y$ es un conjunto con una topología (es decir, "$Y$ es un espacio topológico").

• Concedido, si se omite estas palabras, un matemático experimentado puede asumir correctamente que $X$ es un espacio medible y $Y$ es un espacio topológico, ya que es la cantidad mínima de la estructura necesaria para la declaración de tener sentido. Pero la omisión de ellos no sería bueno de una matemática de la escritura de perspectiva (al menos en mi opinión).

Answer 3

Para añadir a las respuestas anteriores, tenga en cuenta que cuando se nombra un conjunto específico, a menudo específica topología/métricas/etc. es implícita, y que generalmente se conoce como el "estándar topología/métricas/etc." en ese conjunto.

Por ejemplo, si se habla de funciones continuas $f:\mathbb R\to\mathbb R$, es no significa que somos para poner una topología arbitraria pero fija en $\mathbb R$, pero se entiende que estamos utilizando la topología estándar en $\mathbb R$, que es inducida por la métrica estándar $d(x,y)=|x-y|$.

Answer 4

La topología no se menciona explícitamente, pero es que se refiere implícitamente por la condición de que $\phi$ es continua. Del mismo modo, no importa lo que la sigma-álgebra en $X$ es porque hay funciones que intervienen en el teorema que son medibles w.r.t. .

Tal vez es más claro con un ejemplo - deje $X=Y=\mathbb{R}$ con el estándar de la topología y de Borel sigma álgebra, $u=\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$, $v$ es la identidad (tanto medibles funciones) y $\phi(x,y)=(1+x^2)^y$ (la definición de una función continua en a $\mathbb{R}^2$. A continuación, $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ satisfacción $h(x)= (1+\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}(x)^2)^x$ es medible con respecto a la Borel sigma álgebra.