Separación del teorema

Question

He convexo el conjunto$C:=C(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n$ de combinaciones convexas de$x_i$. Sé que existe un$x_i$ tal que$\Vert x_i \Vert > 0$ y$ 0 \notin \mathring{C}(x_1,\dots,x_n) = \{\sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i : \lambda_i \in (0,1) \text{ and sum up to 1}\}$. También sé que \begin{align*} \exists y \in C \>\forall c \in \mathring{C} : \> \langle y , c \rangle > 0. \end {align *} Ahora se supone que debo mostrar que$\langle y , x_i \rangle > 0$ contiene.

¿Alguien puede darme una pista para esta tarea?

Answer 1

El resultado parece estar equivocado.

Tome el avión, es decir,$\mathbb R^2$ con$x_1 = (1,0)$ y$x_2=(0,1)$. Tienes $\Vert x_1 \Vert = 1 \neq 0$. Ahora$y = x_2$ pertenece a$C(x_1,x_2)$ y$\langle y, c \rangle >0$ para todos$c \in \mathring{C}(x_1,x_2)$. También $0 \notin \mathring{C}(x_1,x_2)$.

Sin embargo $\langle y , x_1 \rangle = \langle x_2, x_1 \rangle = 0$.