Encuentra$f(3)$ si$f(f(x))=3+2x$

Question

Una función$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ se define como$f(f(x))=3+2x$

Encuentra$f(3)$ si$f(0)=3$

Mi intento:

Método$1.$ Put$x=0$ obtenemos$f(f(0))=3$$\implies$$f(3)=3$

Método$2.$ Reemplazar$x$ con$f(x)$ obtenemos

$$f(f(f(x)))=3+2f(x)$$ $ \ implica $

ps

Poner $$f(3+2x)=3+2f(x)$

ps

Siento que el Método$x=0$ es Correcto, ya que$$f(3)=9$ es Inyectable, lo que significa$2.$ debe ser Inyectable.

Answer 1

Parece que has encontrado una contradicción. Aparentemente,$f(f(x)) = 3 + 2x$ y$f(0) = 3$ no son conciliables. No hay tal función

Answer 2

Asumiendo$f(x) = a x + b$ tenemos

$$ f (f (x)) = a (ax + b) + b = a ^ 2 x + ab + b $$

entonces

$$ a ^ 2 = 2 \\ ab + b = 3 $$

y resolviendo tenemos$a = \pm \sqrt{2}, b = \frac{3}{1\pm\sqrt{2}}$ y por lo tanto$f(0) = \frac{3}{1\pm\sqrt{2}} \ne 3$, por lo tanto, tal función no existe.

Answer 3

No sólo es $f(f(x))=3+2x$ inyectiva, es bijective, y $f(f(x))\not=x$, excepto cuando se $x=-3$

así que usted debe tener $f(x)\not =x$ y por lo tanto debe de tener $f(f(x)) \not =f(x)$, excepto para el caso de $x=-3$, en cuyo caso usted debe tener $f(-3)=-3$

en particular, usted no puede tener $f(0)=f(f(0))=3$

De hecho, usted puede tener $f(0)$ con valores aparte de $-3$ o en aquellos en los $\left\{\ldots, -\frac{45}{16},-\frac{21}{8},-\frac{9}{4},-\frac{3}{2},0,3,9,21,45,\ldots\right\}$, y entonces tendrás $f(3)=3+2f(0)$

Para una solución general de la ecuación funcional,

• la partición de los reales en clases de equivalencia con la equivalencia de la relación de $y = 3+2x \implies y R x$
• luego de par de estas clases de equivalencia, además de a $\{-3\}$ como un caso especial vinculado con el mismo, (hay algunas maneras de hacer esto, y muchas más difícil)
• por lo $f(x)=z$ toma de una clase de equivalencia al de su pareja
• y $f(z)=f(f(x))=3+2x$ lleva de vuelta, pero es un paso hasta

Un ejemplo de solución a la ecuación funcional es $f(x)=-6-x$ al $x\ge -3$ $f(x)=-9-2x$ al $x\le -3$, lo que ha $f(0)=-6$ $f(3)=-9$