Deje que $( \Omega , \Sigma ,P)$ ser un espacio de probabilidad y dejar $X \colon \Omega \to \mathbb R$ y $Y \colon \Omega \to \mathbb R$ ser variables aleatorias continuas con funciones de densidad $f_X$ y $f_Y$ respectivamente. Me gustaría definir con precisión la distribución condicional de $X$ dado que $Y = y$ donde $y \in \mathbb R$ y $f_Y(y) > 0$ . La dificultad de hacer esto es que el evento $Y = y$ tiene probabilidad $0$ .
Como primer paso, podemos intentar definir $P(A \mid Y = y)$ donde $A \subset \Omega $ es un evento. Una idea clave es notar que mientras el evento $Y = y$ tiene medida $0$ el evento $Y \in [y, y + \Delta y]$ tiene una probabilidad positiva para cualquier número $ \Delta y > 0$ . Esto sugiere que podemos definir $$ \tag {1} P(A \mid Y = y) = \lim_ { \Delta y \to 0} P(A \mid Y \in [y,y + \Delta y]). $$ Pregunta: ¿Existe el límite del derecho? Si es así, ¿la función $P( \cdot \mid Y = y)$ definido en la ecuación (1) una medida de probabilidad?
Pregunta adicional: ¿Es éste el enfoque estándar para definir rigurosamente la distribución condicional de $X$ dado que $Y = y$ ? Si no, ¿cuál es el enfoque estándar? Por favor, recomiende un libro que lo explique claramente, ya que está glosado en la mayoría de los libros de probabilidad que he mirado.
