Definiendo con precisión la distribución condicional de $X$ dado que $Y = y$

Question

Deje que $( \Omega , \Sigma ,P)$ ser un espacio de probabilidad y dejar $X \colon \Omega \to \mathbb R$ y $Y \colon \Omega \to \mathbb R$ ser variables aleatorias continuas con funciones de densidad $f_X$ y $f_Y$ respectivamente. Me gustaría definir con precisión la distribución condicional de $X$ dado que $Y = y$ donde $y \in \mathbb R$ y $f_Y(y) > 0$ . La dificultad de hacer esto es que el evento $Y = y$ tiene probabilidad $0$ .

Como primer paso, podemos intentar definir $P(A \mid Y = y)$ donde $A \subset \Omega$ es un evento. Una idea clave es notar que mientras el evento $Y = y$ tiene medida $0$ el evento $Y \in [y, y + \Delta y]$ tiene una probabilidad positiva para cualquier número $\Delta y > 0$ . Esto sugiere que podemos definir $$\tag {1} P(A \mid Y = y) = \lim_ { \Delta y \to 0} P(A \mid Y \in [y,y + \Delta y]).$$ Pregunta: ¿Existe el límite del derecho? Si es así, ¿la función $P( \cdot \mid Y = y)$ definido en la ecuación (1) una medida de probabilidad?

Pregunta adicional: ¿Es éste el enfoque estándar para definir rigurosamente la distribución condicional de $X$ dado que $Y = y$ ? Si no, ¿cuál es el enfoque estándar? Por favor, recomiende un libro que lo explique claramente, ya que está glosado en la mayoría de los libros de probabilidad que he mirado.

Answer 1

Este no es el enfoque más estándar, ya que se limita al caso en que la densidad es positiva en todas partes, e incluso entonces puede tener problemas; puedes buscar la paradoja de Borel-Kolmogorov (es decir, la forma en que tomas los límites puede importar para formar el objeto que quieres).

Si quieres una referencia, puedes leer el capítulo 5.1.3 del PTE 4.1 de Durrett sobre las probabilidades condicionales regulares para aprender sobre las distribuciones de probabilidad condicionales. También hay una buena respuesta en StackExchange: Definición formal de la probabilidad condicional