Deje $A$ $B$ dos reales, $n\times n$ matrices. El uso de Hadamard de la desigualdad, no es difícil mostrar que $$ \left|\det a - \det B \right| \leq \|B\|_{2} \frac {\|\|_{2}^n -\|B\|_{2}^n} {\|\|_2 -\|B\|_2}. $$ Donde $\|A\|_2=\sqrt{\sum_{i,j}a_{ij}^2}$. A partir de esto, me pueden derivar una sup obligado, por ejemplo $$ \left|\det a - \det B \right| \leq n^{n+1} \|B\|_{\infty} \max (\|\|_{\infty}^{n-1},\|B\|_{\infty}^{n-1}). $$ Donde $\|A\|_\infty=\sup_{i,j}|a_{ij}|$.
La constante $n^{n+1}$ no es la mejor obligado posible : cualquier referencia (o de prueba) para una mejor (o la mejor)? Os muestro a continuación que se puede obtener a $n^2(n-1)^{n-1}$, pero eso no es mucho mejor. He intentado $10^5$ matrices aleatorias en Arce y obtuvo una máxima constante (mucho) menor que uno : esto no es una prueba, pero parece que no hay espacio para la mejora, sin embargo.
Sólo para la integridad (y en caso de que alguien ve un factor que me perdí), para obtener el primer obligado, escrito $A=[A_1,\ldots,A_n]$ en términos de sus vectores columna, una expansión de la muestra \begin{eqnarray*} \det A &=& \det (A_1 -B_1,A_2,\ldots,A_n) + \det (B_1,A_2,\ldots,A_n) \\ &=& \sum_{j=1}^n \det (B_1,\ldots, B_{j-1}, A_j -B_j,A_{j+1},\ldots,A_n) \\ && + \det B, \end{eqnarray*} Así por Hadamard de la desigualdad, \begin{eqnarray*} \det A -\det B &\leq& \sum_{j=1}^n \prod_{i=1}^{j-1} \|B_i\|_{2}\prod_{i=j+1}^{n} \|A_i\|_{2} \|A_j-B_j\|_{2} \\ &\leq& \|A-B\|_{2} \sum_{j=1}^n \|B\|^{j-1}_{2}\|A\|^{n-j}_{2} \\ &=& \|A-B\|_{2} \frac{\|A\|_{2}^n -\|B\|_{2}^n}{\|A\|_2 -\|B\|_2}. \end{eqnarray*}
La segunda obligado es sólo eso $x^n -y^n\leq n \max(|x|^{n-1},|y|^{n-1}) |x-y|$$\|A\|_2 \leq n\|A\|_\infty$.
Otro enfoque es el del cálculo, es decir, a escribir que $\det B - \det A = f(1)-f(0)$ ,$f(t)=\det(A + t(B-A))$.
Por el valor medio teorema $f(1)-f(0)\leq \max |f^\prime (t)|$.
Podemos calcular que $$f^\prime(t) = {\rm trace}\left({\rm Cofm}(A +t(B-A))(B-A)\right)$$ (si no me lío, utilizando la fórmula para la diferencial de un determinante, donde Cofm significa que la matriz de los Cofactores).
A continuación, debe ofrecer algo mejor, si hay una buena manera de enlazar. La cosa más simple es el uso de Cauchy-Schwarz, es decir, $$ \left|{\rm de seguimiento}\left({\rm Cofm}(A +t(B-A))(B-A)\right)\right|\leq \|B-a\|_{2} \|{\rm Cofm}(A +t(B-A))\|_{2} $$ y luego, por la falta de una idea mejor, $$ \|{\rm Cofm}(A +t(B-A))\|_{2}\leq n \max_{ij} |{\rm Cof}_{i,j}(A +t(B-A))|, $$ y brutalmente, $|{\rm Cof}_{i,j}(A +t(B-A))|\leq ((n-1) \max(\|A\|_\infty,\|B\|_\infty))^{n-1}$ da una ligera mejora constante, es decir, $$ n^2(n-1)^{n-1} <n^{n+1} $$ pero que todavía parece una manera muy brusca, para acotar un factor determinante, ya que nunca es agudo, ya que para alcanzar esta enlazado todos los coeficientes deben ser iguales, y por lo tanto el cofactor sería cero. Ellos son del mismo orden en $n$, y sospecho que este orden está mal.
