¿Por qué la integración por sustitución no funciona en este caso?

Question

Me piden que resuelva$\int_0^\frac{\pi}{4}\tan x\, \mathrm{d}x$.

Esto es lo que hice:

$$ \begin{align} &\int_0^\frac{\pi}{4}\tan x \,\mathrm{d}x&\\ = {} &\int_0^\frac{\pi}{4}\frac{\sin x}{\cos x}\, \mathrm{d}x&\\ = {} &\int_0^\frac{\pi}{4}\sin x\frac{-1}{-\cos x} \,\mathrm{d}x&\\ = {} &-\int_0^\frac{\pi}{4}\varphi'(x)\frac{1}{\varphi(x)} \,\mathrm{d}x &\text{where %#%#%} \\ = {} &-\int_{\varphi(0)}^{\varphi(\frac{\pi}{4})} \frac{1}{z} \,\mathrm{d}z \\ = {} &-\int_{-1}^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{z}\, \mathrm{d}z \\ = {} &\Big[\ln z\Big]_{-1}^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ = {} &\ln \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \ln (-1) \end {align} $$

Y aquí es donde estoy atascado, porque la solución definitivamente no es un número complejo. Sé la respuesta correcta (es$\varphi(x):=-\cos x$, mi problema es que no sé dónde cometí un error.

Answer 1

Resulta que$\displaystyle\int\frac1z\,\mathrm dz=\log|z|$, no$\log z$.

Answer 2

Usted ha perdido a un $-$ signo, de modo que usted realmente debe conseguir $$\ln\left(-1\right)-\ln\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$ Y ahora, usted puede utilizar el hecho de que $$\ln(a)-\ln(b)=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ para alcanzar el resultado deseado: $$\ln\left(-1\right)-\ln\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\ln\left(\frac{-1}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)=\ln\left(\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)=\frac{\ln 2}{2}$$ Funciona, ya que el logaritm de un número negativo (la rama principal) $-x$ (donde$x>0$)$\ln(-x)=\ln(x)+i \pi$, y en su caso, el $i\pi$'s se cancelan uno al otro. No iban a cancelar si estuviera tratando de calcular, por ejemplo,$\int_{-2}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x$. En este caso, el complejo resultado puede decirle que usted hizo algo mal.

Pero usted puede evitar el lío con los números complejos diciendo simplemente que $\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x=\ln|x|$, como José Carlos Santos mencionado ya.

Answer 3

Usted tiene $$ \int_a^b\frac{1}{z}\,dz $$ con $a<0$$b<0$. La antiderivada a utilizar es $\ln(-z)$, que es una función definida en el $(-\infty,0)$.

Usted puede evitar el problema por escrito en lugar $$ \int_0^{\pi/4}(-\sin x)\frac{-1}{\cos x}\,dx= \int_0^{\pi/4}\varphi'(x)\frac{-1}{\varphi(x)}\,dx $$ donde $\varphi(x)=\cos x$. Para $x=0$ tenemos $\varphi(x)=1$; $x=\pi/4$ tenemos $\varphi(x)=1/\sqrt{2}$, por lo que la integral se convierte en $$ \int_1^{1/\sqrt{2}}-\frac{1}{z}\,dz= \int_{1/\sqrt{2}}^1 \frac{1}{z}\,dz= \Bigl[\ln z\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^1=-\ln\frac{1}{\sqrt{2}}=\ln\sqrt{2}= \frac{1}{2}\ln2 $$