Teorema de Borsuk-Ulam para toro.

Question

¿El teorema de Borsuk-Ulam es válido para un toro? En otras palabras, para cualquier mapa$f: S^1 \times S^1 \rightarrow \mathbb{R^2}$ hay un punto$(x,y) \in S^1 \times S^1$ que$f(x,y)=f(-x,-y)$

Estoy muy atrapado en esta tarea. ¿Alguien puede dar una pista? O puede haber una solución detallada, si de repente esta tarea es bastante fácil.

¡Gracias de antemano por la ayuda!

Answer 1

No. Con el toro habitual incrustado en$\mathbb{R}^3$, situado en el plano$OXY$, uno tiene una proyección natural en ese plano,$p:S^1×S^1\to \mathbb{R}^2$, que es continuo.

Dos puntos en el toro tienen la misma imagen si están uno encima del otro, en la misma línea vertical. En particular, están en el mismo meridiano del toro, es decir, tienen la misma primera coordenada. Así que si $p(a,b) = p(c,d)$, $a = c$. Esto implica que el teorema de Borsuk-Ulam falla en el toro porque si$x=-x$, y luego$x=0\notin S^1$.