¿Puede la independencia ir en una dirección? Es decir, de modo que P (A | B) = P (A), pero P (B | A) ≠ P (B)

Question

Como yo lo entiendo, la independencia de a y B puede ser establecido de manera informal por preguntarse si aprender algo acerca de uno de esos eventos le dice algo nuevo sobre la otra. Esto debe ser confirmado matemáticamente, sin embargo. Por ejemplo:

Si P(A|B) = P(a), entonces a y B son independientes.

Y si P(A & B) es igual a P(a) x P(B), entonces a y B son independientes.

Lo anterior implica que P(B|A) = P(B)

Esta última declaración de que me confunde, al menos en su aplicación a determinados casos. Por ejemplo:

Que idear una manera de elegir al azar un número de todos los números reales, distribuidos de manera uniforme. La probabilidad de que el número elegido se prime es 0, dado que el 0% de los reales son los principales. Del mismo modo, la elección del número 2 del conjunto de todos los números reales tiene una probabilidad de 0. Del mismo modo, la probabilidad de elegir un 2 en el conjunto de todos los números primos tiene una probabilidad de 0. Dado que 2 es un número primo, parece que la elección de un 2 y la elección de un primer número debe ser dependiente de eventos, al menos en una dirección (es decir, si yo sé que he elegido un 2, entonces estoy seguro de que ha elegido un número primo). Aquí es lo que quiero decir:

P(2|número primo) = P(2) = 0 (pasa por la independencia)

P(número primo|2) = 1 (es decir, no 0, o P(número primo), y así falla de la independencia)

Pero también puede comprobar de la siguiente manera:

P(2 & número primo) = P(2) x P(número primo) = 0 P(2 & número primo) = P(2) x P(número primo|2) = 0 P(2 & número primo) = p(número primo) x P(2|número primo) = 0

Todo lo que aquí sale a 0, como supongo que debería. También esto concuerda con mi entendimiento de que cualquier cosa con una probabilidad de 0 es independiente de cualquier otro evento. (¿Correcto?) Y sin embargo, estoy atascado con la intuición de que:

Si me entero que tengo una de 2, sé que tengo un número primo, en donde el aprendizaje tengo una prima es insuficiente para la actualización de mis creencias acerca de cómo obtener un 2 (siempre que realmente creo que la probabilidad de sacar un 2 de los números primos es 0), y lo mismo va para el aprendizaje de I got incluso, una natural, entero, y así sucesivamente. Todavía tengo que aprender tengo todas esas cosas si me entero que tengo un 2.

He pensado en otros ejemplos, aunque todas ellas se refieren a un solo evento que ocurre fuera de un conjunto de infinitos posibles resultados. E. g., tirando de los números naturales de la forma: P(2|) = P(2) = 0; pero P (|2) = 1 (en lugar de la P () = 1/2). Así que me imagino que hay algo soy ingenuo en el dominio de los infinitos posibles resultados.

Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

De la definición de probabilidad condicional, tenemos que$$P(A\mid B)P(B) = P(A\cap B) = P(B\mid A)P(A).$ $ Reordenando un poco, vemos que $$ \ frac {P (A \ mid B)} {P (A)} = \ frac {P (B \ medio A)} {P (B)}. $$$A$ es independiente de$B$ si el lado izquierdo es igual a$1$, y$B$ es independiente de$A$ si el lado derecho es igual a $1$. Son iguales, por lo que la independencia es simétrica.

Answer 2

Primer problema: elegir un número de todos los números reales, distribuidos uniformemente? No existe tal distribución en$\Bbb R$.

Segundo problema: si tiene un espacio de probabilidad$(\Omega,\mathcal F,P)$ y un evento$A\in\mathcal F$, entonces un espacio de probabilidad$(A,\mathcal F|_A,P')$ solo se induce (a través de$P'(S)=\frac{P(S)}{P(A)}$) si$P(A)>0$.

Answer 3

1. La simetría de la independencia se manifiesta en la definición de la $P(A\cap B) = P(A)P(B)$ que no hace referencia a la probabilidad condicional.

2. La probabilidad condicional es problemático cuando el acondicionamiento evento tiene probabilidad cero, como se evidencia por la división por cero que ocurriría en la definición de $P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$, Para que tenga sentido, debemos estar en una situación en la que un límite de $B$ se aproxima un evento nulo se entiende.

3. Su ejemplo es problemático en otras formas. No hay una distribución uniforme en la línea real, ni hay una distribución uniforme de los números primos. No tiene sentido decir que la probabilidad de que un primo es cero. Hay una relacionada con el concepto de densidad, pero hay una buena razón por la que la densidad no es considerado como la misma cosa como probabilidad.
4. Menos problemático variante de su pregunta podría ser algo así como una normal estándar $X$ y, a continuación, considerar los acontecimientos $X>0$ $X=2.$ Lo hace parecer un poco extraño que hemos independencia a partir de la $$P(X>0,X=2) = P(X=2) = 0 =P(X>0)P(X=2) $$ whereas clearly $X=2$ implies $X>0,$ and we want to write something like $$P(X>0\mid X=2)=1$$ aunque no definida como la probabilidad condicional (y, de hecho, nos puede escribir algo como esto... ver la salvedad de que el punto (2) anterior en cuanto a que hay un límite definido.) Este es probablemente el mejor visto como un hecho en contra de la intuición acerca de la independencia cuando los eventos tienen probabilidad cero o uno. Un evento con probabilidad cero o uno es siempre independiente de cualquier otro evento. Como un caso extremo, anote esto significa un evento con probabilidad cero o uno es independiente de sí mismo!

Answer 4

Lo que es una gran pregunta!

OK, OK, así que usted está enfrentando un poco de fuego para la instalación... pero en este caso podemos hacer algo riguroso.

Considere la posibilidad de una distribución geométrica $\text{Pr}(k) = p~(1-p)^{k-1}$ sobre los números naturales $\mathbb N^+ = \{1,2,3,\dots\}$. Podemos construir una tabla de las probabilidades de que usted está interesado en, por los diversos $p$ valores.

Estos números fueron obtenidos por Haskell (si desea replicar, cabal install primes , seguido declarando smallPrimes = takeWhile (< 10000000) primes :: [Int] y, a continuación, declarando prprime p = sum . reverse . map (\k -> p * (1-p)^(k-1)) $ smallPrimes) por lo que espero que va a haber algunos errores de redondeo, pero:

   p    | Pr(2)         | Pr(prime)     | Pr(2 & prime) | Pr(2 | prime) | Pr(prime | 2)
--------+---------------+---------------+---------------+---------------+---------------
 0.5    | 0.25          | 0.41468250985 | 0.25          | 0.60287085677 | 1.0
 0.333  | 0.222111      | 0.47466583522 | 0.222111      | 0.46793129718 | 1.0
 0.1    | 0.09          | 0.41253315631 | 0.09          | 0.21816428237 | 1.0
 0.03   | 0.0291        | 0.30889192395 | 0.0291        | 0.09420770743 | 1.0
 0.01   | 0.0099        | 0.24179453736 | 0.0099        | 0.04094385303 | 1.0
 0.003  | 0.002991      | 0.19183171475 | 0.002991      | 0.01559179098 | 1.0
 0.001  | 0.000999      | 0.16020745005 | 0.000999      | 0.00623566507 | 1.0
 0.0003 | 0.00029991    | 0.13500470068 | 0.00029991    | 0.00222147820 | 1.0
 0.0001 | 0.00009999    | 0.11779050920 | 0.00009999    | 0.00084887994 | 1.0

Como usted vaya a más y más $p$ la distribución se vuelve más plano y plano entre varios de los números. Podemos ver algunos inmediata tendencias: incluyendo como tú supones que $\text{Pr}(k\text{ prime})$ está disminuyendo lentamente, como debe ser, y que $\text{Pr}(k=2|k\text{ prime})$ está disminuyendo rápidamente como debe ser. Lo que cuenta es el hecho de que "2 es primo" se refleja directamente en la columna de la derecha y provoca $\text{Pr}(k=2 \cap k \text{ prime}) = \text{Pr}(k = 2)$ directamente, lo que significa que, a menos que $\text{Pr}(k\text{ prime}) = 1$ está totalmente a la derecha para adivinar que estas son variables dependientes el uno encima del otro.

Lo que se puede ver a partir de esta tabla es también donde usted va mal en el argumento. Cuando usted dice que $\text{Pr}(k = 2) \approx \text{Pr}(k=2|k\text{ prime})$ que es no confirmado por los datos anteriores y en el hecho de que $\approx$ signo es constantemente por un factor de $1/\text{Pr}(k\text{ prime}),$, por lo que comienza mal por un factor de 2,4 o así, y luego esto se pone peor, hasta que por la parte inferior de esta tabla es incorrecta por casi un factor de 10, y como sabemos que esta probabilidad es cada vez más pequeño, sabemos que esta aproximación es llegar wronger y wronger. En general, usted podría obtener una probabilidad más alta de encontrar $k=2$ si usted sabía que usted pasó a la tierra sobre los números primos, y son no verdaderamente independiente de eventos para cualquier asignación de probabilidades que intenta permanecer relativamente incluso para el primer $N$ números de antes de la suspensión.