¿Se puede $n+1$, $2n+1$, $3n+1$ todos los cuadrados perfectos, si $n$ es un número entero positivo?

Question

<blockquote> <p>¿Puede el % de números $n+1$, $2n+1$ y $3n+1$ al mismo tiempo ser cuadrados perfectos para cualquier entero positivo $n$?</p> </blockquote> <p>He intentado averiguar que y llegó a la ecuación sistema $$c^2-3a^2=-2$$ $$b^2-2a^2=-1$$ by setting $$n+1=a^2$$ $$2n+1=b^2$$ $$3n+1=c^2$$ and I conjecture that the only solution in positive integers is $c = a = b = 1 $ , corresponding to $n = 0$. Pero, ¿cómo puedo demostrar esta conjetura? O ¿echo de menos una solución?</p>

Answer 1

Si esto sucede, $1, n+1, 2n+1, 3n+1$ es una progresión aritmética de término cuatro de cuadrados perfectos.

Pero puede ser demostrado (dolorosamente, usando curvas elípticas, como demostró en este enlace - ver Teorema 3.4) que todos progresiones aritméticas de cuatro-término de cuadrados perfectos racionales debe ser constantes, así que tenemos $n=0$.