Suma de una serie exponencial infinita

Question

Q. Encuentra el valor de - $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{2^r}{5^{2^r} +1} $$

Mi intento - Parece que estoy perdido en este problema. Aunque creo que los términos posteriores serían mucho más pequeños y despreciables (imagina lo grande que sería $ 5^{2^r} $ después de 3-4 términos), así que calculé la suma de los primeros 3-4 términos y mi respuesta fue casi igual a la respuesta real (solo una diferencia de $0.002$). Pero me pregunto si hay un método real para resolver este problema. Si lo hay, ¿podrías compartirlo conmigo, por favor?

Cualquier ayuda sería apreciada

Answer 1

Recuerde que todo número natural $m$ se puede descomponer de forma única en una suma de potencias de $2$, $$m = \sum_{r=0}^\infty b_r 2^r\quad\text{ donde }\quad b_r \in \{ 0, 1 \}$$

Para cualquier $x \in (0,1)$, esto lleva a

$$\prod_{r=0}^\infty \left(1 + x^{2^r}\right) = \sum_{m=0}^\infty x^m = \frac{1}{1-x}$$ Tomando logaritmo en ambos lados y aplicando $x\frac{d}{dx}$ a ellos, obtenemos

$$\sum_{r=0}^\infty \frac{2^r x^{2^r}}{1 + x^{2^r}} = \frac{x}{1-x}$$

Sustituyendo $x$ por $\frac15$, encontramos

$$\sum_{r=0}^\infty \frac{2^r}{5^{2^r} + 1} = \sum_{r=0}^\infty \frac{2^r\left(\frac15\right)^{2^r}}{1 + \left(\frac15\right)^{2^r}} = \frac{\frac15}{1-\frac15} = \frac14$$

Answer 2

Otro usuario pisco originalmente publicó esto, pero seguía eliminando su respuesta. Sin embargo, en mi opinión, es completamente elemental y, por lo tanto, superior al uso de series de potencias y diferenciación término a término (que requieren teoremas no triviales):

$$\frac{2^r}{5^{2^r}+1} = \frac{2^r}{5^{2^r}-1} - \frac{2^{r+1}}{5^{2^{r+1}}-1}.$$

Entonces simplemente toma $\displaystyle\sum_{r=0}^n$ de ambos lados y observa que el término de 'resto' desaparece cuando $n \to \infty$.