¿Pueden los múltiplos de dos reales mantenerse separados?

Question

Esta pregunta está inspirada en mi propia respuesta a esta pregunta. Para un número real $x > 0$, definir $$ S(x) = \{\lfloor kx \rfloor \mediados de k \in \mathbb N\}. $$ Hay números reales positivos $x, y$ tal que $S(x) \cap S(y)$ es finito?

Si $x, y$ son enteros, entonces la respuesta es claramente no: cada uno de sus múltiplos comunes está allí. Esto descarta racionales, demasiado: cuando se multiplica por el mínimo común múltiplo de sus denominadores se reduce a la integral del caso.

Esto deja a los números irracionales, e intuitivamente me parece obvio que estos serían "aún peor": algo acerca de cómo las partes fraccionarias de $(kx)_{k \in \mathbb N}$ $x$ irracionales son densos en la unidad de intervalo, tal vez? Algo sobre la irracionalidad de las medidas? Pero no sé cómo convertir esto en una discusión.

Answer 1

Para cualquier positivo irracional $r$, el Beatty secuencia es la secuencia de números

$$\mathcal{B}_r = \lfloor r \rfloor, \lfloor 2r \rfloor, \lfloor 3r \rfloor, \ldots$$

Rayleigh teorema (también conocido como Beatty del teorema de) estados que

Dado cualquier irracional $r > 1$, existe irracional $s > 1$, de modo que $\mathcal{B}_r$ $\mathcal{B}_s$ particionar el conjunto de enteros positivos. es decir, que cada entero positivo pertenece exactamente a una de las dos secuencias.

Para que esto suceda, la condición es $$\frac1r + \frac1s = 1 \iff s = \frac{r}{r-1}$$ Translate this to the problem at hand. For irrational $x > 1$, just take $y = \frac{x}{x-1}$ y vamos a tener

$$S(x) \cup S(y) = \mathbb{N}\quad\text{ and }\quad S(x) \cap S(y) = \{ 0 \}$$

Para obtener más detalles, consulte la entrada de la wiki para Beatty las secuencias y las referencias allí.