Problema de ecuación de números complejos

Question

He estado teniendo problemas con esta pregunta compleja (no es mi mejor tema), y me preguntaba si podría obtener sugerencias o explicaciones sobre cómo hacerlo.

Demuestre que todas las raíces de la ecuación$$z^n\cos(n\alpha)+z^{n-1}\cos((n-1)\alpha)+z^{n-2}\cos((n-2)\alpha)+\cdots+z\cos(\alpha)=1,$$ where $ \ alpha$ is real, lie outside the circle $ | z | = \ dfrac 12 $.

Cualquier ayuda sería muy apreciada

Answer 1

Supongamos que existe una raíz$z_0$ de la ecuación de forma que$|z_0| \le \frac{1}{2}$. Ahora tenemos ese$$1 = |z_0^n\cos(n\alpha) + z_0^{n-1}\cos((n-1)\alpha) + \dots + z_0\cos(\alpha)|\le$ $$$|z_0^n\cos(n\alpha)| + |z_0^{n-1}\cos((n-1)\alpha)| + \dots + |z_0\cos(\alpha)|\le|z_0^n| + |z_0^{n-1}| + \dots + |z_0|\le$$ $$\frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^{n-1}} + \dots + \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2^n}< 1 $ $ Contradiction.