Estabilidad del pde en algunos $L^p$ norma y la estabilidad de un esquema numérico que equivalencia.

Question

Me gustaría obtener algo de luz sobre cómo proceder y mi confusión. Considero que algunos IBVP de la forma $$u_t+L(t,x)u=0, x\in D, t\in [0,T]$$ with some BC and initial data. And I use some numerical method to solve it. First, I start with a question of well-posedness of IBVP. Assume I proved existence and uniqueness in some general space, say only bounded measurable functions, so in fact I showed existence and uniqueness only of a weak solution. Now, I still have to show stability and I can see it perfectly overlaps with a question of stability of a numerical scheme. And this is where I am stuck. So, I can pick a space first, and as it is done in many books, I choose $L^2$ and try to show stability, that is to prove that $$||u(t,x)||_2 \leq C ||u(0,x)||_2$$ for some $C$ using energy methods, for example. I can also use discrete energy methods and discrete energy norms to show the same for a numerical method that $$||u_h(t_n,x)||_2 \leq C_h ||u_h(0,x)||_2.$$ I am dealing with a problem where I have these stability results for any $t,t_n \[0,T-\epsilon]$, with $C=C(\epsilon)$, but not on $[0,T]$. If I picked $L^{\infty}$ instead of $L^2$, I can show it for $t\[0,T]$ and $C$ es una constante fija. Así que tengo las siguientes preguntas:

1. Hasta ahora, se ve como un problema está bien planteado sólo en $L^{\infty}$$[0,T]$. Sin embargo, se me ocurre a notar que mi método numérico muestra $L^2$ convergencia, por lo que podría ser una coincidencia o hay alguna limitación de resultado que se puede mostrar en $L^2$ en este caso?

2. ¿Qué es la intuición detrás de la elección de $L^2$ o $L^{\infty}$I también puede recoger algunos de Sobolev en el espacio, pero yo no sé nada acerca de ellos, así que puedo restringir el mismo a $L^p$ espacios). Es uno mejor que el otro? Es más fuerte el resultado en un solo espacio? Sé que $L^{\infty} \in L^2 \in L^1$, pero no hay desigualdad entre esas normas, aunque, así que no se puede decir que la estabilidad en una norma implica la estabilidad en el otro, ¿puedo?

3. Relacionado con 2. Así que, Si tengo una estable IBVP en $L^p$ mi esquema numérico tiene que ser estable, al menos en ese espacio? Decir que he a $L^2$ bien plantea un problema, puedo intentar demostrar $L^1$ estabilidad de un esquema numérico o no tiene sentido, ya que el problema inicial no es $L^1$ estable?

Answer 1

1. La estabilidad en $L^\infty$ debe implicar $L^2$-estabilidad (si su dominio está limitado), puesto que han enlazado $\|\cdot\|_{L^2}\leq C\|\cdot\|_{L^\infty}$.

2. Usted tiene el continuo de la incrustación de $L^p(U)\subset L^q(U)$$p>q$, siempre $U$ está acotada. Esto significa que $\|u\|_{L^q}\leq C\|u\|_{L^p}$$u\in L^p(U)$.

3. En general, un buen esquema numérico debe ser estable en los mismos espacios que vienen de continuas teoría. Por otro lado, la inestabilidad de un problema continuo significa que no se puede resolver numéricamente en cualquier manera clara y sencilla. Si usted realmente necesita para "resolver" lo que tiene para regularizar el problema por primera vez, pero lo que vale es la de reemplazar el problema original por un problema diferente que se comporta mejor en nivel continuo.