Encuentra el valor de : $\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x-1} - \sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2} - \sqrt{x-3}}$

Question

Estoy tratando de resolver evaluar este límite

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x-1} - \sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2} - \sqrt{x-3}}.$$

He tratado de racionalizar el denominador pero esto es lo que tengo

$$\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x-1} - \sqrt{x-2})({\sqrt{x-2} + \sqrt{x-3}})$$

y no sé cómo eliminar estas formas indeterminadas $(\infty - \infty)$ .

EDIT: sin la regla de l'Hospital (si es posible).

Answer 1

Rellena los datos:

Como $\;x\to\infty\;$ podemos suponer $\;x>0\;$ Así que..:

$$\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}-\sqrt{x-3}}=\frac{\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}}=\frac{\sqrt{1-\frac2x}+\sqrt{1-\frac3x}}{\sqrt{1-\frac1x}+\sqrt{1-\frac2x}}\xrightarrow[x\to\infty]{}1$$

Otra pista: el primer paso fue multiplicar por el conjugado de ambos el numerador y el denominador.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2} = \dfrac1{\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}}$$ y $$\dfrac1{\sqrt{x-2}-\sqrt{x-3}} = \sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}$$ Por lo tanto, tenemos $$\dfrac{\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}-\sqrt{x-3}} = \dfrac{\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}}$$ Tenemos $$\dfrac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-2}}<\dfrac{\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}} < 1$$ Ahora concluye lo que quieres.

Answer 3

Sólo hay que multiplicar con $\frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}}$ también. Entonces debería ser fácil de evaluar.

Answer 4

\begin{align} \frac{\sqrt{x-1} - \sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2} - \sqrt{x-3}} &=\frac{\sqrt{x-1} - \sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2} - \sqrt{x-3}}\,\, \frac{\sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}}\,\, \frac{\sqrt{x-2} + \sqrt{x-3}}{\sqrt{x-2} + \sqrt{x-3}}\\ \ \\ &=\frac{x-1-(x-2)}{x-2-(x-3)}\,\frac{\sqrt{x-2} + \sqrt{x-3}}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}}=\frac{\sqrt{x-2} + \sqrt{x-3}}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}}\\ \ \\ &=\frac{\sqrt{1-2/x}+\sqrt{1-3/x}}{\sqrt{1-1/x}+\sqrt{1-2/x}}\to\frac22=1 \end{align}