Operador de multiplicación y clase de rastreo

Question

Supongamos que trabajamos en$H=l^2(\Bbb{N})$ y suponemos que el operador de multiplicación$T_f$ es tal que$T_f\psi=f\psi$ y$f:\Bbb{N}\rightarrow \Bbb{C}$. Denotamos por$B_1(H)$ la clase de operadores de rastreo.

Pregunta: Quiero encontrar una condición suficiente y necesaria para$f$, tal que$T_f\in B_1(H)$.

¿Puede alguien ayudarme con esta pregunta? (Esta es una pregunta de un examen de Introducción al análisis funcional).

Answer 1

El adjunto está dado por$T_{\bar f}$, por lo tanto,$(T_f^*T_f)^{1/2}\psi=|f|\psi$. Por definición,$T_f$ es trace-class si y solo si la secuencia$\{f(n)\}$ es sumable, es decir, en$\ell^1$.

Los operadores de multiplicación son interesantes en el siguiente sentido. Con las anotaciones del OP,

• $T_f$ está limitado si y solo si la secuencia$f$ está limitada;
• $T_f$ es compacto si y solo si$f(n)\to 0$;
• $T_f$ es trace-class si y solo si$f\in\ell^1$;
• $T_f$ es Hilbert-Schmidt si y solo si$f\in\ell^2$.