No estoy completamente seguro de que esto constituye una respuesta satisfactoria, pero mi respuesta es gavilla de la teoría. Deje que me motivan a partir de la teoría de los colectores.
Si tenemos un colector $M$, que se puede asociar a cualquier subconjunto $U \subseteq M$ el anillo de $\mathcal C^\infty(U)$ $\mathcal C^\infty$ funciones $U$. Resulta que esto hace que $\mathcal C^\infty$ en una gavilla en $M$ (esto significa que lo que acabo de decir, además de algunos 'pegado' condiciones que nos permiten definir funciones por definir localmente: en lugar de escribir una función en $U$, se puede escribir funciones en abrir conjuntos de $U_i$ cubriendo $U$, y si ellos están de acuerdo en las intersecciones $U_i \cap U_j$, a continuación, te dan una función definida en el $U$).
Otros objetos importantes en el colector mundo incluyen el espacio de la tangente $T_p M$, $i$formas de $\Omega^i(M)$, y tal vez las cosas como tensores (por ejemplo, la curvatura es una $(0,4)$-tensor, lo que significa que tiene $4$ vectores tangente, y escupe un número real (lo que pensamos acerca de como $0$ vectores tangente)). Resulta que todos estos tienen un natural de la multiplicación de la estructura por $\mathcal C^\infty$ funciones. Si asociamos a cada una de las $U \subseteq M$ los conjuntos de $\operatorname{VF}(U)$ (campos vectoriales), $\Omega^i(U)$, etc, entonces esto no sólo se convertirá en una gavilla, pero se convierte en una gavilla de $\mathcal C^\infty$-módulos: cada abiertos, tenemos un módulo sobre $\mathcal C^\infty (U)$, con natural compatibilidades.
En la geometría algebraica, no es tan claro lo que el espacio de la tangente o la $k$-formularios deben ser: podemos utilizar cualquier estructura diferenciable de pensar acerca de estas (por ejemplo, el espacio de la tangente se define por infinitesimal rutas de acceso a través de un punto). Es aquí que los módulos de paso: podemos definir un módulo de diferenciales $\Omega_{A/k}$ cualquier $k$-álgebra $A$, que desempeña el papel de $\Omega^1(M)$. Tomando la alternancia de poderes (como $A$-módulo!) da la $\Omega^i_{A/k}$, y tomando duales (de nuevo a través de $A$) da $T_{A/k}$.
En el algebraicas mundo, que se puede asociar a cualquier módulo de $M$ $A$ una gavilla $\tilde M$$\operatorname{Spec} A$, y esta asociación es functorial en tanto $A$$M$. Por otra parte, la localización de $M_f$ corresponde a la restricción a la abierta subconjunto donde $f$ es distinto de cero. Ahora podemos pegamento de los módulos de $\Omega_{A/k}$ a definir una gavilla por primicia de los diferenciales $\Omega_{X/k}$ para cualquier variedad de $X$$k$. Por otra parte, de forma análoga a la analítica caso, esta es una gavilla de $\mathcal O_X$-módulos.
Así, uno podría preguntarse: ¿por qué no seguir el vector haces? En el algebraicas mundo, estos corresponden a lo finito proyectiva módulos (o, equivalentemente, finito plana módulos). Sin embargo, rápidamente ejecutar en problemas si hacemos eso: por ejemplo, la cokernel de un mapa de módulos proyectivos no necesita ser proyectiva (sólo piense en $\mathbb Z \stackrel{n}{\to} \mathbb Z$ $\mathbb Z$- módulos). Así que si queremos aplicar cualquier tipo de homológica métodos (que se ha demostrado ser muy eficaz en la geometría algebraica), es mejor que tenga una teoría que funciona, al menos para todos los finitely módulos. Esto le da a la noción de coherente de las poleas.
Observe, sin embargo, que la noción de un todo coherente gavilla no se limita a la geometría algebraica; si tenemos cualquier espacio anillado $(X, \mathcal O_X)$ (ambas variedades y los colectores son ejemplos de esto), entonces se puede definir lo que significa para una gavilla de $\mathcal O_X$-módulos de ser coherente. Es un teorema que esta noción corresponde a la noción de finitely módulos generados cuando estamos trabajando con una gran variedad.
Por otro lado, para el buen variedades proyectivas $\mathbb C$, Serre de la GAGA artículo se demuestra que las categorías coherente de los módulos en la algebraica y la analítica mundo son equivalentes! Por lo tanto, nuestro concepto es realmente muy cercana a la de (holomorphic) vector de paquetes a través de una compleja colector.
Como se mostró en el ejemplo anterior, hay muchos ejemplos naturales de vector de paquetes de más de colectores, y ahora podemos definir todas esas cosas sobre las variedades así. Pero hay muchos más usos para los módulos: por ejemplo, la línea de paquetes se corresponden con divisores (codimension $1$ subvariedades) modulo algunos de equivalencia. Amplia línea de paquetes de clasificar a los morfismos en $\mathbb P^n$. Así que hay un montón de diferentes ejemplos en los que a priori algebraica de los objetos (módulos/coherente poleas) han geométrica importante interpretaciones.
