Probar$A=\{x\in (1,2): \text{the decimal expansion of $ x$ contains only } 1,3 \text{ or }5\}$ es compacto

Question

<blockquote> <p>Prueba $A=\{x\in (1,2): \text{the decimal expansion of $x $ contains only}~ 1,~3~\text{or}~5\}$ es compacto</p> </blockquote> <p>Limita ser un subconjunto de $(1,2)$ la única izquierda de cosa probar es que está cerrada. Una manera estoy tratando de demostrar es que si $x$ no es en $A$ entonces no puede ser su límite punto así que $A$ contiene todos los puntos de su límite y así es cerrado.</p>

Answer 1

El conjunto de todos los números que dígito decimal de $n$ th (es decir, sólo un dígito, no todos los dígitos) es $2$, $3$, o $5$ es cerrado. Demostrar que la primera.

Luego mirar en el cruce por encima de todos los valores de $n$ y utilice el hecho de que una intersección de cualquier conjunto de conjuntos cerrados es cerrada.

Answer 2

OK, aquí está mi segunda respuesta, un poco más cerca de lo que se sugiere en la pregunta. Supongamos que uno de los dígitos, dicen los $n$th, es no $2$, $3$, o $5$. Digamos que es $4$. Un ejemplo concreto: $$ x=0.2253525554. $$ Este número está en el intervalo abierto $$ (0.225352555, 0.2253525556) $$ La expansión decimal de cada número en el intervalo requiere dígitos $2$, $3$, o $5$. Por lo $x$ está en un intervalo abierto no intersección entre el conjunto de nos interesa, por lo $x$ no puede ser un punto límite de ese conjunto.

Su próxima tarea puede ser, tal vez, para escribir este argumento de manera abstracta.