Suficiencia mínima con funciones de indicador

Question

El siguiente teorema se puede demostrar que una estadística es mínima suficiente:

Deje $f(X|\theta)$ ser el pmf o pdf a partir de una muestra de X. Supongamos $\exists$ un la función $T(X)$ de manera tal que, por cada dos muestras de X y Y:

$\frac{f(X|\theta)}{f(Y|\theta)} \amalg \theta$ fib $T(X) = T(Y)$.

A continuación, $T(X)$ es un mínimo suffienct estadística para $\theta$.

(Referencia: Casella Y Berger Teorema De 6.2.13.)

Estoy confundido acerca de cómo funciona esto cuando las densidades contienen funciones de los indicadores. Aquí está un ejemplo que he construido con el fin de confundir a mí mismo:

Deje $X_{i}$$Y_{i} \sim Unif(0,\theta)$. Deje $I$ ser el indicador de la función. Entonces:

$$ \frac{f(X|\theta)}{f(Y|\theta)} = \frac{ I( max(X) < \theta ) \cdot I( min(X) > 0 ) }{ I( max(Y) < \theta ) \cdot I( min(Y) > 0 )}$$

Vamos a olvidarnos de la relación de la segunda indicador de funciones debido a que ya es independiente de $\theta$. Así que la pregunta es, "Cuando es la relación entre el primer indicador de los términos independientes de $\theta$?" La proporción será 1 si $I( max(X) < \theta ) = I( max(Y) < \theta ) = 1$. Si $I( max(X) < \theta ) = I( max(Y) < \theta ) = 0$, estoy confusa en qué hacer puesto que el denominador es 0, pero al menos la relación no debería depender de las $\theta$. Bien ... por lo $max(X)$ es un candidato MSS, y cumple con el "si" de dirección.

Veamos el "si" de dirección. Si $max(X) \ne max(Y)$, entonces la proporción es o $1/0$ o $0/1$. En mi opinión, estos son independientes de $\theta$, independientemente de cualquier función de $X$ o $Y$. Pero esta conclusión no tiene ningún sentido; por lo tanto, la premisa de que entiendo indicador de funciones y un mínimo de suficiencia está mal.

Me gustaría un poco de orientación para establecer mi entendimiento recto.

Answer 1

Alguien me describió una inteligente prueba de dibujo que voy a carne a cabo por cualquiera de las partes interesadas.

En primer lugar, vamos a arreglar el problema de tener 0 en el denominador por la construcción de un equivalente a condición de que:

$$ \frac{f(X|\theta)}{f(Y|\theta)} = \frac{ I( max(X) < \theta ) }{ I( max(Y) < \theta )} $$

es equivalente a:

$$ \exists \; g(X,Y) \amalg \theta \; \text{such that:}$$ $$ \; {I( max(X) < \theta ) = g(X,Y) \cdot I( max(Y) < \theta )} \; \forall \; \theta \; \; \; \; \; \; (*)$$

Tome $max(X)$ como el candidato de MSS. Para el "si" de la dirección, simplemente, tenga en cuenta que cuando $max(X) = max(Y)$, $(*)$ mantiene independientemente de $\theta$, si dejamos $g(X,Y) = 1$.

Para el "si" de la dirección, tenemos que mostrar que $(*)$ implica $max(X) = max(Y)$.

Vamos a probar el contrapositivo: $max(X) \ne max(Y)$ implica $(*)$ no se sostiene, es decir, $g(X,Y)$ depende de $\theta$. WLOG, vamos a $max(X) < max(Y)$.

Ahora hay tres casos:

(1) $\theta < max(X) < max(Y)$. A continuación, ambos indicadores son 0, por lo $g(X,Y)$ puede ser cualquier cosa y $(*)$ le depara.

(2) $max(X) < \theta < max(Y)$. A continuación, los indicadores no coinciden, por lo $g(X,Y)$ se debe evaluar de 0 a cumplir con $(*)$.

(3) $max(X) < max(Y) < \theta$. A continuación, los indicadores de ambos a 1, por lo $g(X,Y)$ se debe evaluar de 1 a satisfacer $(*)$.

Por lo tanto, $max(X) \ne max(Y)$ implica que el $(*)$ no se sostiene, puesto que $g(X,Y)$ sería una función definida a tramos depende de $\theta$. Y hemos terminado.