¿Puede un mapa continuo entre un espacio de Banach y un espacio que no sea de Banach ser biyectivo?

Question

Permita que$\mathbb{X}$ sea un espacio normativo que esté completo y$\mathbb{Y}$ sea otro espacio normativo que no esté completo. Entonces, ¿puede un mapa lineal delimitado$A:\mathbb{X} \to \mathbb{Y}$ ser bijectivo o no?

Answer 1

Edit: De hecho, hay una muy simple teorema de aquí que da a toda la verdad: Dado un delimitada lineal bijection $T:X\to Y$ donde $X$ es completa, $Y$ es completo si y sólo si $T^{-1}$ está acotada. (Si $Y$ es completar la asignación abierta teorema muestra que $T^{-1}$ está acotada. Por otro lado, si $T^{-1}$ está delimitada es trivial demostrar que $Y$ es completa: Una secuencia de Cauchy en $Y$ proviene de una secuencia de Cauchy en $X$, que converge...)

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Original:

Sí, es posible. Esto me sorprende, yo pensaba que la respuesta era no. La razón pensé que la respuesta era " no fue algo como esto:

Vamos a estar de acuerdo que un isomorfismo en el presente contexto, es un delimitada lineal bijection cuya inversa es también limitada. Ahora (i) un almacén lineal bijection entre espacios de Banach que debe ser un isomorfismo, (ii) si $X$ $Y$ son isomorfos normativa espacios y $X$ es completa, a continuación, $Y$ es completa. Por supuesto, nunca pensé que en realidad era una prueba aquí, todo lo que demuestra es que el $Y$ es completo si $Y$ es completa. Pero esos hechos en mi cabeza me hizo pensar que la respuesta era no.

De todos modos, he aquí un ejemplo. Deje $X=\ell^2$, el habitual espacio de la plaza-summable secuencias. Definir $T:X\to X$ $$Tx=(x_1,x_2/2,x_3/3,\dots).$$

A continuación, $T$ es ciertamente limitado y inyectiva. Ahora vamos a $Y=T(X)$, y dar $Y$ la norma que se hereda $\ell^2$. Respecto a $T$ como un mapa de $X$$Y$. Es todavía limitado y inyectiva, y ahora es surjective.

Por lo $T:X\to Y$ es un delimitada lineal bijection. Y $Y$ no es completa. (Prueba: Si $Y$ se completa, a continuación, la asignación abierta teorema demuestra que es $T^{-1}:Y\to X$ fue delimitada, sino $T^{-1}$ no es ciertamente limitada.)

Answer 2

$\newcommand{nrm}[1]{\left\lVert{#1}\right\rVert}$ Resumen largo: sí, y sucede con bastante frecuencia.

Por ejemplo, deje$I=(0,1)$. Considere el mapa \begin{align}\psi:W^{1,p}(I)&\hookrightarrow L^p(I)\\u&\mapsto u\end {align}

Como$\nrm{u}_{W^{1,p}}=\nrm{u'}_p+\nrm{u}_p$, contiene$\nrm\psi\le1$.

Pero$\psi\left(W^{1,p}(I)\right)=F$ contiene$C^\infty_c(I)$, por lo tanto, es denso en$L^p(I)$. Obviamente,$F\ne L^p(I)$ porque todas las funciones en$F$ tienen% finito $\operatorname{supess}$.

Por lo tanto,$(F,\nrm{\bullet}_p)$ no es Banach y$\psi:W^{1,p}(I)\to F$ es continuo y biyectivo.