Relaciones antisimétricas

Question

Dado un conjunto$\{1,2,3,4\}$, ¿cómo es la siguiente relación$R$ antisimétrica?

ps

Nota: Antisimétrica es la idea de que si$$R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4)\}$está en$(a,b)$y$R$está en$(b,a)$, entonces$R$. En mi libro de texto dice que lo anterior es antisimétrico, que no es el caso, ya que siempre que$a = b$esté en$(a,b)$,$R$ no lo es.

Answer 1

Intente esto: considere la posibilidad de una relación con el ser antisimétrica, a MENOS que exista un contraejemplo: a menos que exista $(a, b) \in R$$(b, a) \in R$, E $a\ne b$.

Ya que no se como contraejemplo existe en tu relación, es trivialmente cierto que la relación es antisimétrica.

Otra forma de explicar esto es la siguiente: una relación es NO antisimétrica SI Y SÓLO SI no existe $a, b$ de manera tal que TANTO $\;(a, b)\in R\;$ E $\;(b, a) \in R\;$ PERO $\;a\ne b$.

Esto es cierto de otras propiedades: propiedad es para una relación a menos que exista un contraejemplo tal que la propiedad no lleva a cabo. Dicho de otra manera, una propiedad que no lleva a cabo SI Y SÓLO SI un contraejemplo existe.

Answer 2

$R$ es iff antisimétrico cuando ambos $(a,b)$% y $(b,a)$ están en$R$ y luego$a=b$.

En su ejemplo, no hay par$(a,b) \in R$ que también tenga$(b,a) \in R$, por lo que la declaración es vacuamente verdadera.

Otra forma (equivalente) de mirarlo es que$R$ no es antisimétrico si hay elementos$a,b$ con$a\neq b$ y ambos$(a,b),(b,a) \in R$.

Answer 3

En mi opinión, su incomprensión es en la lógica, no en la teoría de conjuntos.

Si $p$ es falso, entonces la instrucción condicional "si $p$ $q$" es vacuously verdadero. Esto no significa que $q$ es cierto, se supone que toda la instrucción es verdadera.

Como @Doug Chatham dice,

Por ejemplo, considere la posibilidad de la implicación, "Si 2+2=5, entonces usted va a aprobar el curso." Ya que 2+2 es 5, la declaración es una declaración verdadera, independientemente de si o no aprobar el curso.

Respecto a tu pregunta, si $(a,b)\in R$ $(b,a)\in R$ implican $a=b$, y es falso que tanto $(a,b)\in R$$(b,a)\in R$, la afirmación es verdadera: R es antisimétrica.

La definición de antisymmetry ¿ no estado

si $(a,b) \in R$ $(b,a) \in R$

(que sería la definición de simetría).

Answer 4

Aquí hay un ejemplo que mostrará que la relación a continuación no es antisimétrica.

Permita que$R$ sea la relación$$\bigl\{ (1,2), (1,3), (3,1), (1,1), (3,3), (3,2), (1,4), (4,2), (3,4)\bigr\}

El primer paso es encontrar 2 miembros en la relación tales que$(a,b) \in R$ y$(b,a) \in R$. Si no existe dicho par, su relación es antisimétrica. Si existe dicho par en su relación y$a \ne b$, entonces la relación no es antisimétrica, de lo contrario es antisimétrica.

ps

por lo tanto, la relación no es antisimétrica.

Answer 5

Solo necesita verificar los casos. Te dan un conjunto$A=\{1,2,3,4\}$ y la relación$$\sim\; =\{(1,2),(2,3),(3,4)\}

Tenga en cuenta que $a\sim b\iff a+1=b$. Por lo tanto, nunca será el caso que el otro par que estás buscando esté en$\sim$, y la relación será antisimétrica porque no puede no ser antisimétrica, es decir, la verdad se mantiene vacía.