Me voy a dar un resumen de las diferencias entre el Darboux y Riemann enfoques a la integral, que explican cómo podemos llegar a la idea de utilizar un determinado tipo de partición para calcular las integrales. Vamos a recordar algunas de las definiciones.
- Una partición del intervalo $[a,b]$ es una lista de $P=\{ x_i \}_{i=0}^n$ donde $a=x_1 < x_2 < \dotsb < x_n = b$. La malla de la partición es $\Delta P = \max_{i} (x_i-x_{i-i})$.
- Una partición etiquetada $T = (P,T) $ es una partición de a $P$ junto con un conjunto de etiquetas, $T=\{t_i\}_{i=1}^n$, lo $x_{i-1} < t_i < x_i$.
Dada una función de $f: [a,b] \to \mathbb{R}$, la integral de Riemann se define mediante sumas de Riemann:
Dada una partición etiquetada $(P,T)$ $[a,b]$ y una función de $f$, la suma de Riemann $S(f,P,T)$ está dado por
$$ S(f,P,T) = \sum_{i} f(t_i) (x_i-x_{i-1}) $$
Se llama a una función de Riemann-integrable en $[a,b]$ si
$$ \lim_{\Delta P \to 0} S(f,P,T) $$
existe, es decir no es$\ell$, de modo que, dado cualquier $\varepsilon>0$,$\delta>0$, de modo que cualquier partición etiquetada con $\Delta P < \delta$$\lvert S(f,P,T) - \ell \rvert < \varepsilon $; a continuación, $\ell $ se llama la de Riemann integal de $f$$[a,b]$, y está escrito $\int_a^b f$ o $\int_a^b f(x) \, dx$.
Sin embargo, esta es una condición difícil de comprobar: hay un montón de posibles etiquetados particiones. Por otra parte, de alguna manera se siente como si las etiquetas son una complicación adicional más allá de lo necesario, ya que apenas cuentan en la suma. Darboux la idea fue buscar en un conjunto más sencillo de integrales, mediante el uso de un tipo diferente de la suma.
Dada una partición $P$$[a,b]$, la superior y la inferior sumas asociadas con $P$ están dadas por
$$ U(f,P) = \sum_i \Big(\sup_{[x_{i-1},x_{i}]} f\Big) (x_i-x_{i-1}) \\
L(f,P) = \sum_i \Big(\inf_{[x_{i-1},x_{i}]} f\Big) (x_i-x_{i-1}). $$
Definimos la parte superior e inferior de las integralespor
$$ \overline{\int}_a^b f = \lim_{\Delta P \to 0} U(f,P) \\
\underline{\int}_a^b f = \lim_{\Delta P \to 0} L(f,P). $$
Estos siempre existen; de hecho, resulta que $\overline{\int}_a^b f = \inf_{P} U(f,P)$$\underline{\int}_a^b f = \sup_P L(f,P)$.
Para cualquier $P$, siempre tenemos
$$ U(f,P) \geq \overline{\int}_a^b f \geq \underline{\int}_a^b f \geq L(f,P). $$
Si la media de la desigualdad es, de hecho, la igualdad, $f$ se llama Darboux-integrable y el valor común se llama la integral de Darboux de $f$$[a,b]$; podríamos escribir la $\displaystyle {D \mkern-10pt \int}_a^b f$ o $\int_a^b f \quad (D)$, pero resulta que esto no importa:
Con estas definiciones, $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ es de Darboux-integrable si y sólo si es Riemann-integrable, y los valores de las integrales coinciden.
- $D \implies R$ es fácil: tenemos $U(f,P) \geq S(f,P,T) \geq L(f,P)$ para cualquier partición etiquetada $(P,T)$, por lo que si en la parte superior e inferior de las sumas convergen a$\ell$$\Delta P \to 0$, por lo que debe de las sumas de Riemann.
- $R \implies D$: La clave aquí es que para determinado $P$, hay un conjunto de etiquetas de $T_U$, de modo que $U(f,P)-S(f,P,T_U)<\varepsilon$, y otro conjunto $T_L$, de modo que $S(f,P,T_L)-L(f,P) < \varepsilon$. En particular, podemos utilizar esto para demostrar que $$\overline{\int}_a^b f = \limsup_{\Delta P \to 0} S(f,P,T) \\
\underline{\int}_a^b f = \liminf_{\Delta P \to 0} S(f,P,T), $$
y, por supuesto, el de la mano izquierda lados coinciden si $f$ es de Darboux-integrable, el derecho si $f$ es Riemann-integrable.
Esto sugiere que debemos utilizar Darboux definición cuando en realidad la computación de las cosas: la pregunta principal es ¿cuántas particiones tenemos que investigar para demostrar que la integral existe. Afortunadamente, la respuesta es que si podemos encontrar una secuencia $P_m$ de las particiones con $\Delta P_m \to 0$$U(f,P_m)-L(f,P_m) \to 0$$m \to \infty$, $f$ Darboux es integrable.
(Esto apela a la idea de minimizar/maximizar secuencias: si queremos mostrar que $\inf A \leq \ell$, es suficiente para encontrar una secuencia $ \{ a_m \}_{m = 1}^{\infty} \subset A $$a_m \to \ell $. Asimismo, $ \sup B \geq \ell $ si no es$ \{ b_m \}_{m = 1}^{\infty} \subset B $$b_m \to \ell$. Si ya sabemos que $\inf A \geq \sup B$, entonces tenemos que tener en $\inf A = \sup B = \ell$.)
Para finalmente llegar a su pregunta, es obvio que la partición a tomar es $P_n = \{ a + (b-a)i/n \}_{i=0}^n $. Esto es bueno y espaciados uniformemente, y sabemos que al instante que $\Delta P_n = x_i-x_{i-1} = (b-a)/n$, por lo que será suficiente para tomar el límite de la parte superior e inferior sumas como $n \to \infty$. Desde $f(x)=x$ está en aumento, la parte superior de suma contiene $f(x_i) = a + (b-a)i/n $ y la menor suma contiene $f(x_{i-1}) = a + (b-a)(i-1)/n$. Así tenemos
$$ U(f,P_n) = \frac{b}{n}\sum_{i=1}^n+\frac{(b-a)i}{n} \\
L(f,P_n) = \frac{b}{n}\sum_{i=1}^n+\frac{(b-a)(i-1)}{n} $$
Por supuesto, las cantidades pueden ser evaluados $\sum_{i=1}^k 1 = k$ $\sum_{i=1}^k k = k(k+1)/2$ dar
$$ U(f,P_n) = \frac{b}{n}\left( na + (b-a)\frac{n(n+1)}{2n} \right) = \frac{(b-a)(b+a)}{2}+\frac{(b-a)^2}{2n} \\
L(f,P_n) = \frac{b}{n}\left( na + (b-a)\frac{n(n-1)}{2n} \right) = \frac{(b-a)(b+a)}{2}-\frac{(b-a)^2}{2n}, $$
y, por supuesto, ambas tienden a $(b^2-a^2)/2$$n \to \infty$.
Una alternativa que hace que las sumas mucho más fácil para calcular positivos $a$ $b$ (la parte negativa es fácil de separar y haga lo mismo) es el uso de una progresión geométrica como una partición en lugar de una media aritmética, a saber:
$$ Q_n = \{ a(b/a)^{i/n} \}_{i=0}^n. $$
A continuación, la malla está dado por $b-(b/a)^{1-1/n} \to 0$$n \to \infty$, y
$$ U(f,Q_n) = \sum_{i=1}^n\left(\frac{b}{a}\right)^{i/n}\left(\left(\frac{b}{a}\right)^{i/n}- \left(\frac{b}{a}\right)^{(i-1)/n}\right) \\
L(f,Q_n) = \sum_{i=1}^n\left(\frac{b}{a}\right)^{(i-1)/n}\left(\left(\frac{b}{a}\right)^{i/n}- \left(\frac{b}{a}\right)^{(i-1)/n}\right), $$
todo lo cual puede ser calculada usando sólo la serie geométrica de la fórmula; el límite puede ser tomado con L'Hôpital. Esta idea se remonta al menos a Dirichlet, y trabaja en un poder general (es interesante probarlo en $\int_1^x dt/t$, por ejemplo).
