${ \sqrt {2x+1}=1+ \sqrt {x}}$ - No sé si la solución es correcta. ¿Ayuda?

Question

${ \sqrt {2x+1}=1+ \sqrt {x}}$
${2x+1=1+2 \sqrt {x}+x}$
${x=2 \sqrt {x}}$
${x* \frac {1}{x^{1/2}}=2}$
${ \sqrt {x}=2}$
${x=4}$

Answer 1

Has dividido $x^{\frac12}$ sin comprobar si $x=0$ es una solución. Cuando se utiliza la división para resolver una ecuación, sólo se obtienen soluciones en las que el divisor no es cero, así que asegúrate de comprobar por separado los casos en los que el divisor es cero.

Answer 2

El cuarto paso no es correcto. Se puede escribir más bien $$ x=2\sqrt{x} $$ $$ x-2\sqrt{x}=0 $$$$ \sqrt {x} \left ( \sqrt {x}-2 \right )=0 $$ $$ \sqrt {x}=0 \quad \text {o} \quad \sqrt {x}-2=0 $$ giving easily $$ x=0, \qquad x=4 $$ como soluciones.

Answer 3

debe ser $$x\geq 0$$ después de elevar al cuadrado obtenemos $$x=2\sqrt{x}$$ elevando de nuevo al cuadrado obtenemos $$x(x-4)=0$$ así obtenemos $$x=0$$ o $$x=4$$ que sí son soluciones.

Answer 4

Cuando se divide por $\sqrt{x}$ estás asumiendo algo. Esta suposición descarta otra solución válida.

Answer 5

En su mayor parte es correcto, pero hay dos condiciones que no ha tenido en cuenta y que debería haber tenido.

$\sqrt{2x + 1}=1+\sqrt{x}$ Tenga en cuenta que esto implica $2x + 1 \ge 0$ es decir $x \ge -\frac 12$ .

$2x +1 = 1 + 2\sqrt{x} + x$ Ahora, hemos "perdido" ese supuesto. Es posible que acabemos con algunas respuestas extrañas en las que $x < -\frac 12$ . Resulta que eso no es un problema y no ocurre pero podría haber ocurrido. (Como todavía tenemos $\sqrt{x}$ que implica $x \ge 0$ así que $x < -\frac 12$ es imposible).

$x = 2\sqrt{x}$

$x/x^{1/2} = 2$ Aquí se divide por $x^{1/2}$ en el supuesto $x^{1/2} \ne 0$ . No se puede hacer esa suposición. Debe considerar la posibilidad de que $x^{1/2}$ .

Así que digamos: Caso 1: Si $\sqrt{x} = 0$ entonces $x= 0$ y tenemos $0 = 2\sqrt{0}$ que tan consistente es $x = 0$ es una posible respuesta.

Pero si $\sqrt{x} \ne 0$ entonces

$x/x^{1/2} = 2$

$x^{1/2} = 2$

$x =4$

Así que $x=4$ es la única otra solución posible . Así que $x = 0$ o $x = 4$ .