Conjuntos convexos: una pista sobre cómo resolver un problema

Question

¿Alguien podría darme una pista sobre cómo resolver el siguiente problema?

Deje$X_1, \dots, X_{d+1}$ en algunos conjuntos finitos en$\mathbb{R}^d$, de modo que el origen se encuentre en${\rm conv}(X_i)$ para todos$i \in \{1, 2, \dots, d+1\}$. El problema es probar que existen puntos$x_i \in X_i$,$i \in \{1, 2, \dots, d+1\}$, de modo que el origen se encuentre en${\rm conv}(\{x_1,x_2,\dots,x_{d+1}\})$.

Intenté todo lo que se me ocurrió.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

El problema puede ser demostrado por la contradicción y por el uso de hyperplane teorema de separación.

Uno puede asumir que para cada una de las $(x_1, \dots, x_{d+1}) \in X_1 \times \cdots \times X_{d+1}$ ${\rm conv}(\{x_1, \dots, x_{d+1}\})$ no contiene el origen. Deje $C$ ser el colset uno al origen. Entonces por el teorema de separación existe una hyperplane tales que el origen está en un lado y $C$ sobre el otro. Desde ${\rm conv}(X_1)$ contiene el origen también tiene que ser $a \in X_1$ tal que $a$ está en el mismo lado de la de origen. Considere la posibilidad de $C' = {\rm conv}(a, x_2, \dots x_{d+1})$. Es fácil ver que $C'$ está más cerca del origen de $C$, lo que produce una contradicción.

Answer 2

No creo que sea cierto. De hecho, toma$X_1 = \{(-1,0) ; (1,0)\}$ y$X_2 = \{(0,-1) ; (0,1)\}$. El origen se encuentra en$\text{conv}(X_i)$ para todos$i$, pero no existe$(x_1,x_2)\in X_1 \times X_2$ de modo que$0\in \text{conv}(x_1,x_2)$.