Demostrar que $\cos(x)$ es idénticamente cero utilizando la integración por partes

Question

Considere $$\int\cos(t-x)\sin(x)dx,$$ donde $t$ es una constante.

Evaluando la integral por partes, dejemos $$\begin{align} u = \cos(t-x),\ dv = \sin(x), \\ du = \sin(t-x),\ v = -\cos(x), \end{align}$$ así que $$\int\cos(t-x)\sin(x)dx = -\cos(t-x)\cos(x) - \int\sin(t-x)\cdot-\cos(x)dx.$$ Evaluando de nuevo la integral de la derecha por partes (con un ligero abuso de la notación), $$\begin{align} u = \sin(t-x),&\quad dv = -\cos(x), \\ du = -\cos(t-x),&\quad v = -\sin(x), \end{align}$$ obtenemos $$\begin{align} \int\cos(t-x)\sin(x)dx &= -\cos(t-x)\cos(x) - \left( -\sin(t-x)\sin(x)-\int\cos(t-x)\sin(x)dx\right) \\ &= -\cos(t-x)\cos(x) + \sin(t-x)\sin(x) + \int\cos(t-x)\sin(x)dx, \end{align}$$ y restando la integral de ambos lados, obtenemos la nueva y deslumbrante identidad $$\sin(t-x)\sin(x)-\cos(t-x)\cos(x)=0$$ para todos $t$ y $x$ ¡!

Si lo llevamos más lejos, la expresión del lado izquierdo es $-\cos(t)$ y como $t$ era sólo una constante arbitraria, esto implica $\cos(x)$ ¡es idéntico a cero!

Ahora, obviamente, sé que algo está mal aquí. ¿Pero qué y dónde? ¿Dónde está el fallo en mi razonamiento?

P.D. Puedo evaluar la integral para obtener la respuesta adecuada lol. Pero esto fue bastante interesante.

Answer 1

Una identidad trigonométrica estándar dice que $$\sin(t-x)\sin(x)-\cos(t-x)\cos(x)$$ es igual a $$-\cos((t-x)+x)$$ y que es $-\cos t$ . En función de $x$ es una constante, es decir, como no hay " $x$ " en esta expresión, no cambia como $x$ cambios. Ya que la "nueva identidad deslumbrante", si se enuncia correctamente, diría, no que la expresión es igual a $0$ pero que la expresión es constante, parece que tu derivación es correcta. Excepto que has escrito " $=0$ " donde necesitabas " $=\text{constant}$ ".

Answer 2

La cuestión es que estás trabajando con indefinido integrales, por lo que hay que tener cuidado con las constantes de integración arbitrarias. Cuando se utiliza la integración por partes en integrales indefinidas sólo se garantiza que se obtenga otra antiderivada, no necesariamente lo mismo antiderivada, como demuestra claramente este ejemplo. Aquí resulta que el LHS es la antiderivada original, y el RHS es la misma antiderivada más $-\cos t$ (que es una constante con respecto a $x$ ).

Si se elaborara el mismo ejemplo con Definitivamente integración en su lugar, usted terminaría con $$0=-\cos( t)\big|_{x=a}^{x=b}=-\cos t-(-\cos t)=0.$$