Se trata de demostrar que el área de un círculo de radio $r$ es $\pi r^2$ utilizando la integral. Intenté escribir $$A=\int\limits_{-r}^{r}2\sqrt{r^2-x^2}\ dx$$ pero no sé qué hacer a continuación.
Te falta dt en el "dx = r cos t dt"
Se trata de demostrar que el área de un círculo de radio $r$ es $\pi r^2$ utilizando la integral. Intenté escribir $$A=\int\limits_{-r}^{r}2\sqrt{r^2-x^2}\ dx$$ pero no sé qué hacer a continuación.
$$2\sqrt{r^2-x^2}=2r\sqrt{1-\left(\frac xr\right)^2}$$
Sustituir
$$x=r\sin t\;,\;\;dx=r\cos t\,dt\implies 2r\sqrt{1-\left(\frac xr\right)^2}dx=2r^2\cos^2t\,dt\implies$$
$$\int\limits_{-r}^r2\sqrt{r^2-x^2}dx=2r^2\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2t\,dt=\left.r^2\left(t+\sin t\cos t\right)\right|_{-\pi/2}^{\pi/2}=\pi r^2$$
Otra solución interesante, aún no mencionada por las otras respuestas, es utilizar esta sustitución:
$$ x = r\cos\theta \;\therefore\; \frac{dx}{d\theta} = -r\sin\theta \;\therefore\; dx = -r\sin\theta \; d\theta $$ Sustituyendo los límites de la integral, tenemos $$x = -r \implies -r = r\cos\theta \implies \cos\theta = -1 \implies \theta = \pi$$ $$x = r \implies r = r\cos\theta \implies \cos\theta = 1 \implies \theta = 0$$
Con esto podemos hacer: $$ A=-r \int\limits_{\pi}^{0}2\sqrt{r^2-(r\cos\theta)^2} \sin\theta \; d\theta = -2r \int\limits_{\pi}^{0}\sqrt{r^2(1 - \cos^2\theta)} \sin\theta \; d\theta = $$ $$ -2r \int\limits_{\pi}^{0}\sqrt{r^2\sin^2\theta} \sin\theta \; d\theta = -2r \int\limits_{\pi}^{0}r\sin^2\theta \; d\theta = -2r^2 \int\limits_{\pi}^{0}\sin^2\theta \; d\theta = $$ $$ -2r^2 \int\limits_{\pi}^{0}\frac{1}{2}(1 - \cos(2\theta)) \; d\theta = $$
Ahora sustituimos $u = 2\theta \implies \frac{du}{d\theta} = 2 \implies d\theta = \frac{du}{2}$ y los límites van desde $2\pi$ a $0$ : $$ \frac{-r^2}{2} \int\limits_{2\pi}^{0}(1 - \cos u) \; du = \frac{-r^2}{2} (u - \sin u)\Big{|}_{2\pi}^{0} = $$ $$ \frac{-r^2}{2} [(0 - \sin 0) - (2\pi - \sin2\pi)] = \frac{-r^2}{2} [-2\pi] = \pi r^2 $$
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Dependiendo del plan de estudios en el que te encuentres, las integrales de esta forma pueden ser tratadas en segundo semestre de cálculo, cuando se discuten las técnicas de integración más allá de la "sustitución en u" básica. Si aún no has tenido "sustituciones trigonométricas", esto te parecerá misterioso. (En el primer semestre, la cuestión se esquiva pidiendo a los alumnos que reconozcan que el radical representa la expresión de un semicírculo de radio $ \ r \ $ centrado en el origen).
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Si está realmente interesado en el tema, podría sugerir este pregunta como lectura adicional.
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math.stackexchange.com/questions/720935/