Me dijeron hace unos días que la posibilidad de que los dos elegidos al azar los números son primos relativos a cada una de las otras es $6/(\pi^2)$. Y es bien sabido que el valor de Riemann zeta función a las 2 de la es $(\pi^2)/6$. Así que supongo que hay una correspondencia entre ellos. Tal vez la posibilidad de $n$ elegido al azar los números son relativamente primos entre sí(hay dos casos aquí: (1) $n$ números son pairly relativamente primos a cada uno de los otros (2)el mínimo común divisor de todos estos $n$ números es 1) es igual a $1/\zeta (n)$? Y creo que cuando consideramos $n=1$, la posibilidad de que uno elegido al azar el número es primo es 0, y mientras tanto $\zeta(1)=\infty$. En este caso, con este sentido, esta propuesta aún se mantiene. Pero creo que debo de estar soñando... Por favor, hágamelo saber si usted encontrar la fórmula anterior es malo para algunos $n$.
Respuesta
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Elegir al azar dos números menos de $n$, luego
- $\lfloor n/2\rfloor^2$ pares son ambos divisibles por 2.
- $\lfloor n/3\rfloor^2$ pares son ambos divisibles por 3.
- $\lfloor n/5\rfloor^2$ pares son ambos divisibles por 5. ...
El número de relativamente primos pares inferior o igual a $n$ es:
$$ n^2 - \sum\lfloor \frac np\rfloor^2 + \sum\lfloor \frac n{pq}\rfloor^2- \sum\lfloor \frac n{pqr}\rfloor^2 + ... $$
Sumas tomadas a través de los distintos números primos $p,q,r,...$ menor que n. Deje $\mu(x)$ ser la función de Möbius este es
$$\sum\mu(k)\lfloor n/k\rfloor^2$$
La probabilidad es el límite de $n$ va al infinito dividido por $n^2$, o
$$ \sum\frac{\mu(k)}{k^2} .$$
Ahora, el de la serie de Dirichlet que genera la función de Möbius es el (multiplicativo) inversa de la de Riemann zeta función $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta(s)}. $$ Así, obtenemos $\frac{1}{\zeta(2)}=\frac6{\pi^2}$.
MathWork dice:
Este resultado está relacionado con el hecho de que el máximo común divisor de a $m$ y $n$, $(m,n)=k$, puede ser interpretado como el número de celosía de puntos en el plano que se encuentran sobre la recta que une los vectores $(0,0)$ $(m,n)$ (excluyendo $(m,n)$ sí). De hecho, $6/\pi^2$ es el número fraccionario de celosía puntos visibles desde el origen (Castellanos, 1988, pp 155-156).
