¿Cómo calcular la aproximación padecida?

Question

Como $\log(1+x)$ ? ¿Existe algún algoritmo? He leído muchos materiales pero no tengo ni idea

Answer 1

La aproximación de Pade de orden $(m,n)$ a una función $f$ es una aproximación racional local de la forma

$$f(x) \approx \frac{P_m(x)}{Q_n(x)}= \frac{\sum_{j=0}^{m}p_jx^j}{\sum_{j=0}^{n}q_jx^j}.$$

Ampliar $f(x)$ en una serie de Maclaurin

$$f(x) = \sum_{j=0}^{\infty}a_jx^j$$ y mira la diferencia

$$f(x) - \frac{P_m(x)}{Q_n(x)}= \frac{\left(\sum_{j=0}^{\infty}a_jx^j\right)\left(\sum_{j=0}^{n}q_jx^j\right)-\sum_{j=0}^{m}p_jx^j}{\sum_{j=0}^{n}q_jx^j}.$$

Dejemos que $q_0 = 1$ por lo que el denominador no desaparece en $x=0$ y resolver el resto de $m+n+1$ coeficientes $p_j$ y $q_j$ tal que el lado izquierdo y su primer $m+n$ derivados iguales $0$ en $x=0$ . Esto lleva a $m+n+1$ ecuaciones lineales para los coeficientes desconocidos.

$$p_0 = a_0q_0\\p_1 = a_1q_0+a_0q_1\\ \ldots \\p_m = a_mq_0+a_{m-1}q_1+ \,\ldots +a_{m-n}q_n\\a_{m+1}q_0+a_mq_1+ \, \ldots a_{m-n+1}q_n = 0\\a_{m+2}q_0+a_{m+1}q_1+ \, \ldots a_{m-n+2}q_n = 0\\ \ldots \\a_{m+n}q_0+a_{m+n-1}q_1+ \, \ldots a_{m}q_n = 0$$

Una ventaja de la aproximación de Pade es que es relativamente fácil de calcular. En algunos casos, la aproximación es buena fuera del radio de convergencia de la serie de Maclaurin. La desventaja es que no existe una forma cerrada general para el error.

Para $\log(1+x)$ empezar con la expansión

$$\log(1+x) = \sum_{j=1}^{\infty}\frac{(-1)^{j+1}x^{j}}{j}$$

Para la orden $(2,2)$ aproximante

$$q_0 = 1 \\\\ p_0 = a_0q_0\\\\p_1 = a_1q_0+a_0q_1 \\\\p_2 = a_2q_0+a_1q_1+a_0q_2 \\\\a_3q_0+a_2q_1+a_1q_2=0\\\ a_4q_0+a_3q_1+a_2q_2=0.$$

La aproximación es

$$\log(1+x) \approx \frac{x+\frac1{2}x^2}{1+x+\frac1{6}x^2}$$